Lösung 2.2:2b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K (Solution 2.2:2b moved to Lösung 2.2:2b: Robot: moved page)
Zeile 1: Zeile 1:
-
If we set <math>u=2x+3</math>, the integral simplifies to <math>e^u</math>. However, this is only part of the truth. We must in addition take account of the relation between the integration element <math>dx</math> and <math>du</math>, which can give undesired effects. In this case, however, we have
+
Mit der Substitution <math>u=2x+3</math>, erhalten wir das Intagral <math>e^u</math>. Wir müssen aber auch den Faktor <math>dx</math> berücksichtigen. In diesem Fall erhalten wir,
{{Abgesetzte Formel||<math>du = (2x+3)'\,dx = 2\,dx</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>du = (2x+3)'\,dx = 2\,dx</math>}}
-
which only affects by a constant factor, so the substitution <math>u = 2x+3</math> seems to work, in spite of everything,
+
Dies ändert den Integrand nur mit einer Konstante, und also erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 13: Zeile 13:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
 
+
Hinweis: Eine weitere mögliche Substitution ist <math>u=e^{2x+3}</math>. Normalerweise funktioniert es aber nicht mit so "großen" Substitutionen.
-
Note: Another possible substitution is <math>u=e^{2x+3}</math> which also happens to work (usually, such an extensive substitution almost always fails).
+

Version vom 13:06, 5. Mai 2009

Mit der Substitution \displaystyle u=2x+3, erhalten wir das Intagral \displaystyle e^u. Wir müssen aber auch den Faktor \displaystyle dx berücksichtigen. In diesem Fall erhalten wir,

\displaystyle du = (2x+3)'\,dx = 2\,dx

Dies ändert den Integrand nur mit einer Konstante, und also erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

\int\limits_0^{1/2} e^{2x+3}\,dx &= \left\{\begin{align} u &= 2x+3\\[5pt] du &= 2\,dx \end{align}\right\} = \frac{1}{2}\int\limits_3^4 e^u\,du\\[5pt] &= \frac{1}{2}\Bigl[\ e^u\ \Bigr]_3^4 = \frac{1}{2}\bigl(e^4-e^3\bigr)\,\textrm{.} \end{align}

Hinweis: Eine weitere mögliche Substitution ist \displaystyle u=e^{2x+3}. Normalerweise funktioniert es aber nicht mit so "großen" Substitutionen.

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_2.2:2b“