Lösung 2.2:1a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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A substitution of variables is often carried out so as to transform a complicated integral to one that is less complicated which one can either directly calculate or continue to work with.
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Durch eine Substitution können wir ein kompliziertes Integral in vielen Fällen in ein einfacheres Integral bringen.
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When we carry out a substitution of variables <math>u=u(x)</math>, there are three things which are affected in the integral:
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Wenn wir die Substitution <math>u=u(x)</math>, machen, müssen wir folgendes bedenken:
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# the integral must be rewritten in terms of the new variable <math>u</math>;
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# Das Integral muss mit der neuen Variable <math>u</math> umgeschrieben werden.
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# the element of integration, <math>dx</math>, is replaced by <math>du</math>, according to the formula <math>du=u'(x)\,dx</math>;
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# <math>dx</math>, muss mit <math>du</math> ersetzt werden, indem <math>du=u'(x)\,dx</math>.
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# the limits of integration are for <math>x</math> and must be changed to limits of integration for the variable <math>u</math>.
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# Die Integrationsgrenzen müssen an die neue Variable <math>u</math> angepasst werden.
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In this case, we will perform the change of variables <math>u=3x-1</math>, mainly because the integrand <math>1/(3x-1)^4</math> will then be replaced by <math>1/u^4</math>.
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In diesem Fall machen wir die Substitution <math>u=3x-1</math>, nachdem <math>1/(3x-1)^4</math> mit <math>1/u^4</math> ersetzt wird, und dieser Ausdruck einfacher zu integrieren ist.
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The relation between <math>dx</math> and <math>du</math> reads
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Das Verhältnis zwischen <math>dx</math> und <math>du</math> lautet
{{Abgesetzte Formel||<math>du = u'(x)\,dx = (3x-1)'\,dx = 3\,dx\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>du = u'(x)\,dx = (3x-1)'\,dx = 3\,dx\,,</math>}}
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which means that <math>dx</math> is replaced by <math>\tfrac{1}{3}\,du</math>.
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und also ersetzen wir<math>dx</math>mit <math>\tfrac{1}{3}\,du</math>.
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Furthermore, when <math>x=1</math> in the lower limit of integration, the corresponding ''u''-value becomes <math>u=3\cdot 1-1=2</math>, and when
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Weiterhin entspricht die untere Integrationsgrenze <math>x=1</math>, <math>u=3\cdot 1-1=2</math>. Die obere Integrationsgrenze
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<math>x=2</math>, we obtain the ''u''-value <math>u=3\cdot 2-1=5\,</math>.
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<math>x=2</math>, entspricht <math>u=3\cdot 2-1=5\,</math>.
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One usually writes the whole substitution of variables as
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Die Schreibweise für die Variabelsubstitution ist meistens
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_1^2 \frac{dx}{(3x-1)^4} = \left\{ \begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_1^2 \frac{dx}{(3x-1)^4} = \left\{ \begin{align}
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\end{align} \right\} = \int\limits_2^5 \frac{\tfrac{1}{3}\,du}{u^4}\,\textrm{.}</math>}}
\end{align} \right\} = \int\limits_2^5 \frac{\tfrac{1}{3}\,du}{u^4}\,\textrm{.}</math>}}
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Sometimes, we are more brief and hide the details,
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oder weniger detailliert,
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_1^2 \frac{dx}{(3x-1)^4} = \bigl\{ u=3x-1 \bigr\} = \int\limits_2^5 \frac{\tfrac{1}{3}\,du}{u^4}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_1^2 \frac{dx}{(3x-1)^4} = \bigl\{ u=3x-1 \bigr\} = \int\limits_2^5 \frac{\tfrac{1}{3}\,du}{u^4}\,\textrm{.}</math>}}
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After the substitution of variables, we have a standard integral which is easy to compute.
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Nach der Substitution erhalten wir ein einfaches Integral. Die ganze Rechnung lautet;
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In summary, the whole calculation is,
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

Version vom 12:37, 5. Mai 2009

Durch eine Substitution können wir ein kompliziertes Integral in vielen Fällen in ein einfacheres Integral bringen.

Wenn wir die Substitution \displaystyle u=u(x), machen, müssen wir folgendes bedenken:

  1. Das Integral muss mit der neuen Variable \displaystyle u umgeschrieben werden.
  2. \displaystyle dx, muss mit \displaystyle du ersetzt werden, indem \displaystyle du=u'(x)\,dx.
  3. Die Integrationsgrenzen müssen an die neue Variable \displaystyle u angepasst werden.

In diesem Fall machen wir die Substitution \displaystyle u=3x-1, nachdem \displaystyle 1/(3x-1)^4 mit \displaystyle 1/u^4 ersetzt wird, und dieser Ausdruck einfacher zu integrieren ist.

Das Verhältnis zwischen \displaystyle dx und \displaystyle du lautet

\displaystyle du = u'(x)\,dx = (3x-1)'\,dx = 3\,dx\,,

und also ersetzen wir\displaystyle dxmit \displaystyle \tfrac{1}{3}\,du.

Weiterhin entspricht die untere Integrationsgrenze \displaystyle x=1, \displaystyle u=3\cdot 1-1=2. Die obere Integrationsgrenze \displaystyle x=2, entspricht \displaystyle u=3\cdot 2-1=5\,.

Die Schreibweise für die Variabelsubstitution ist meistens

\displaystyle \int\limits_1^2 \frac{dx}{(3x-1)^4} = \left\{ \begin{align}

u &= 3x-1\\[5pt] du &= 3\,dx \end{align} \right\} = \int\limits_2^5 \frac{\tfrac{1}{3}\,du}{u^4}\,\textrm{.}

oder weniger detailliert,

\displaystyle \int\limits_1^2 \frac{dx}{(3x-1)^4} = \bigl\{ u=3x-1 \bigr\} = \int\limits_2^5 \frac{\tfrac{1}{3}\,du}{u^4}\,\textrm{.}

Nach der Substitution erhalten wir ein einfaches Integral. Die ganze Rechnung lautet;

\displaystyle \begin{align}

\int\limits_1^2 \frac{dx}{(3x-1)^4} &= \left\{\begin{align} u &= 3x-1\\[5pt] du &= 3\,dx \end{align}\right\} = \int\limits_2^5 \frac{\tfrac{1}{3}\,du}{u^4} = \frac{1}{3}\int\limits_2^5 u^{-4}\,du\\[5pt] &= \frac{1}{3}\Bigl[\ \frac{u^{-4+1}}{-4+1}\ \Bigr]_2^5 = -\frac{1}{9}\Bigl[\ \frac{1}{u^3}\ \Bigr]_2^5 = -\frac{1}{9}\Bigl(\frac{1}{5^3} - \frac{1}{2^3} \Bigr) = -\frac{1}{9}\cdot\frac{2^3-5^3}{2^3\cdot 5^3}\\[5pt] &= \frac{117}{3^2\cdot 2^3\cdot 5^3} = \frac{3^2\cdot 13}{3^2\cdot 2^3\cdot 5^3} = \frac{13}{2^3\cdot 5^3} = \frac{13}{1000}\,\textrm{.} \end{align}

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