Lösung 3.4:1d
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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| - | {{ | + | Wir beginnen damit, <math>x^2</math> zu addieren und subtrahieren, sodass wir <math>x^3+x^2 = x^2(x+1)</math> im Zähler erhalten |
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| + | Danach addieren und subtrahieren wir | ||
| + | <math>-x</math>, sodass wir <math>-x^2-x = -x(x+1)</math> erhalten, da dies durch | ||
| + | <math>x+1</math> teilbar ist | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| + | x^2 + \frac{-x^2+x+2}{x+1} | ||
| + | &= x^2 + \frac{-x^2-x+x+x+2}{x+1}\\[5pt] | ||
| + | &= x^2 + \frac{-x^2-x}{x+1} + \frac{2x+2}{x+1}\\[5pt] | ||
| + | &= x^2 + \frac{-x(x+1)}{x+1} + \frac{2x+2}{x+1}\\[5pt] | ||
| + | &= x^2 - x + \frac{2x+2}{x+1}\,\textrm{.} | ||
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| + | Wir erhalten | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>x^2-x+\frac{2x+2}{x+1}=x^2-x+2\,\textrm{.}</math>}} | ||
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| + | Wir testen, ob | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^3+x+2}{x+1} = x^2-x+2\,\textrm{,}</math>}} | ||
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| + | indem wir kontrollieren, ob | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>x^3+x+2 = (x^2-x+2)(x+1)</math> .}} | ||
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| + | Wir erweitern die rechte Seite und sehen, dass alles stimmt | ||
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| + | (x^2-x+2)(x+1) = x^3+x^2-x^2-x+2x+2 = x^3+x+2\,\textrm{.} | ||
| + | \end{align}</math>}} | ||
Aktuelle Version
Wir beginnen damit, \displaystyle x^2 zu addieren und subtrahieren, sodass wir \displaystyle x^3+x^2 = x^2(x+1) im Zähler erhalten
| \displaystyle \begin{align}
\frac{x^3+x+2}{x+1} &= \frac{x^3+x^2-x^2+x+2}{x+1}\\[5pt] &= \frac{x^3+x^2}{x+1} + \frac{-x^2+x+2}{x+1}\\[5pt] &= \frac{x^2(x+1)}{x+1} + \frac{-x^2+x+2}{x+1}\\[5pt] &= x^2 + \frac{-x^2+x+2}{x+1}\,\textrm{.} \end{align} |
Danach addieren und subtrahieren wir \displaystyle -x, sodass wir \displaystyle -x^2-x = -x(x+1) erhalten, da dies durch \displaystyle x+1 teilbar ist
| \displaystyle \begin{align}
x^2 + \frac{-x^2+x+2}{x+1} &= x^2 + \frac{-x^2-x+x+x+2}{x+1}\\[5pt] &= x^2 + \frac{-x^2-x}{x+1} + \frac{2x+2}{x+1}\\[5pt] &= x^2 + \frac{-x(x+1)}{x+1} + \frac{2x+2}{x+1}\\[5pt] &= x^2 - x + \frac{2x+2}{x+1}\,\textrm{.} \end{align} |
Wir erhalten
| \displaystyle x^2-x+\frac{2x+2}{x+1}=x^2-x+2\,\textrm{.} |
Wir testen, ob
| \displaystyle \frac{x^3+x+2}{x+1} = x^2-x+2\,\textrm{,} |
indem wir kontrollieren, ob
| \displaystyle x^3+x+2 = (x^2-x+2)(x+1) . |
Wir erweitern die rechte Seite und sehen, dass alles stimmt
| \displaystyle \begin{align}
(x^2-x+2)(x+1) = x^3+x^2-x^2-x+2x+2 = x^3+x+2\,\textrm{.} \end{align} |
