Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Version vom 11:31, 3. Sep. 2009 (bearbeiten) Ombtut3 (Diskussion | Beiträge) ← Zum vorherigen Versionsunterschied		Aktuelle Version (13:57, 7. Sep. 2009) (bearbeiten) (rückgängig) Silke2 (Diskussion | Beiträge)
(Der Versionsvergleich bezieht 3 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Nach Kapitel 4 gilt: <math> 2sin(x)cos(x) = sin(2x) </math> .	+	Wir sehen, dass der Faktor <math>\ -sin x</math> die Ableitung von <math>\cos x</math> ist. Daher substituieren wir <math>u=\cos x</math> und erhalten so das Integral
-	und <math>sin^{2}(x)=\frac{1-cos(2x)}{2}</math> d.h. <math>cos(2x)=-2sin^{2}(x)+1</math>	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\int u\cdot u'\,dx</math>.}}
-	Also:	+	Also erhalten wir
-	<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-	\int \sin x\cos x\,dx	+	\int \sin x\cos x\,dx
-	&= \frac{1}{2} \int \ 2sin x\cos x\,dx\\	+	&= \left\{ \begin{align}
-	&= \frac{1}{2} \int \ sin(2x)\,dx\\	+	u &= \cos x\\[5pt]
-	&= \frac{1}{2}(-cos(2x)) \frac{1}{2} + C\\	+	du &= (\cos x)'\,dx = \ -sin x\,dx
-	&= \frac{-1}{4}cos(2x) + C\\	+	\end{align} \right\}\\[5pt]
-	&= \frac{-1}{4}(-2sin^{2}(x)+1)+C\\	+	&= \int -u\,du\\[5pt]
-	&= \frac{1}{2}sin^{2}(x)-\frac{1}{4} +C\\	+	&= \frac{-1}{2}u^{2} + C\\[5pt]
-	&= \frac{1}{2}sin^{2}(x)+C\\	+	&= \frac{-1}{2}\cos^2\!x + C\\
-	\end{align}</math>	+	&= \frac{-1}{2}\ (1-sin^2\!x) + C\\
		+	&= \frac{1}{2}\sin^2\!x + \frac{1}{2} + C\\
		+	&= \frac{1}{2}\sin^2\!x + C\,\textrm{.}
		+	\end{align}</math>}}
		+	in der letzten Zeile haben wir geschrieben <math> C+\frac{1}{2} =C </math>, weil eine Konstante + <math> \frac{1}{2} </math> immer noch eine Konstante ist.

---

Aktuelle Version

Wir sehen, dass der Faktor \displaystyle \ -sin x die Ableitung von \displaystyle \cos x ist. Daher substituieren wir \displaystyle u=\cos x und erhalten so das Integral

\displaystyle \int u\cdot u'\,dx.

Also erhalten wir

\displaystyle \begin{align} \int \sin x\cos x\,dx &= \left\{ \begin{align} u &= \cos x\\[5pt] du &= (\cos x)'\,dx = \ -sin x\,dx \end{align} \right\}\\[5pt] &= \int -u\,du\\[5pt] &= \frac{-1}{2}u^{2} + C\\[5pt] &= \frac{-1}{2}\cos^2\!x + C\\ &= \frac{-1}{2}\ (1-sin^2\!x) + C\\ &= \frac{1}{2}\sin^2\!x + \frac{1}{2} + C\\ &= \frac{1}{2}\sin^2\!x + C\,\textrm{.} \end{align}

in der letzten Zeile haben wir geschrieben \displaystyle C+\frac{1}{2} =C , weil eine Konstante + \displaystyle \frac{1}{2} immer noch eine Konstante ist.