2.2:3b alternativ
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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&= \frac{1}{2}\sin^2\!x + C\,\textrm{.} | &= \frac{1}{2}\sin^2\!x + C\,\textrm{.} | ||
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| - | + | in der letzten Zeile haben wir geschrieben <math> C+\frac{1}{2} =C </math>, weil eine Konstante + <math> \frac{1}{2} </math> immer noch eine Konstante ist. | |
Aktuelle Version
Wir sehen, dass der Faktor \displaystyle \ -sin x die Ableitung von \displaystyle \cos x ist. Daher substituieren wir \displaystyle u=\cos x und erhalten so das Integral
| \displaystyle \int u\cdot u'\,dx. |
Also erhalten wir
| \displaystyle \begin{align}
\int \sin x\cos x\,dx &= \left\{ \begin{align} u &= \cos x\\[5pt] du &= (\cos x)'\,dx = \ -sin x\,dx \end{align} \right\}\\[5pt] &= \int -u\,du\\[5pt] &= \frac{-1}{2}u^{2} + C\\[5pt] &= \frac{-1}{2}\cos^2\!x + C\\ &= \frac{-1}{2}\ (1-sin^2\!x) + C\\ &= \frac{1}{2}\sin^2\!x + \frac{1}{2} + C\\ &= \frac{1}{2}\sin^2\!x + C\,\textrm{.} \end{align} |
in der letzten Zeile haben wir geschrieben \displaystyle C+\frac{1}{2} =C , weil eine Konstante + \displaystyle \frac{1}{2} immer noch eine Konstante ist.
