Lösung 2.2:3e
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
(Unterschied zwischen Versionen)
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| - | Im letzten Schritt haben wir das Betragszeichen weggelassen, da <math>x^2+1</math>immer positiv ist. | + | Im letzten Schritt haben wir das Betragszeichen weggelassen, da <math>x^2+1</math> immer positiv ist. |
Aktuelle Version
Die Ableitung des Nenners ist
| \displaystyle (x^2+1)' = 2x. |
Dies entspricht fast dem Zähler. Wir schreiben den Zähler wie
| \displaystyle 3x = \frac{3}{2}\cdot 2x = \frac{3}{2}\cdot (x^2+1)', |
sodass wir das folgende Integral erhalten
| \displaystyle \int\frac{\tfrac{3}{2}}{x^2+1}\cdot (x^{2}+1)'\,dx\,. |
Wir sehen hier, dass die Substitution \displaystyle u=x^2+1 günstig ist.
| \displaystyle \begin{align}
\int \frac{3x}{x^2+1}\,dx &= \left\{ \begin{align} u &= x^2+1\\[5pt] du &= (x^2+1)'\,dx = 2x\,dx \end{align}\right\}\\[5pt] &= \frac{3}{2}\int \frac{du}{u}\\[5pt] &= \frac{3}{2}\ln |u|+C\\[5pt] &= \frac{3}{2}\ln |x^{2}+1|+C\\[5pt] &= \frac{3}{2}\ln (x^{2}+1) + C \end{align} |
Im letzten Schritt haben wir das Betragszeichen weggelassen, da \displaystyle x^2+1 immer positiv ist.
