Lösung 2.2:1b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{2}\int u^5\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^6}{6} + C</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{2}\int u^5\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^6}{6} + C</math>}} | ||
| - | Wir schreiben nun die Antwort in der Variable <math>x</math>, indem wir die Substitution <math>u=x^{2}+3</math> ausführen | + | Wir schreiben nun die Antwort in der Variable <math>x</math>, indem wir die Substitution <math>u=x^{2}+3</math> ausführen. |
{{Abgesetzte Formel||<math>\int (x^2+3)^5x\,dx = \frac{(x^2+3)^6}{12}+C\,</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\int (x^2+3)^5x\,dx = \frac{(x^2+3)^6}{12}+C\,</math>}} | ||
Aktuelle Version
Um ein unbestimmtes Integral zu berechnen, besteht kein Bedarf die Grenzen zu ändern. Wir müssen aber nach der Integration wieder zurück zu der Variable \displaystyle x gehen.
Das Verhältnis zwischen \displaystyle dx und \displaystyle du lautet
| \displaystyle du = u'(x)\,dx = (x^2+3)'\,dx = 2x\,dx\, |
oder
| \displaystyle x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du\,\textrm{.} |
Da \displaystyle x\,dx ein Faktor im Integrand ist, können wir die Substitution \displaystyle u=x^{2}+3 direkt ausführen.
| \displaystyle \int (x^2+3)^5x\,dx = \left\{\begin{align}
u &= x^2+3\\[5pt] du &= 2x\,dx \end{align}\right\} = \int u^5\cdot\tfrac{1}{2}\,du |
Dies ist nun ein Standardintegral, das wir direkt berechnen.
| \displaystyle \frac{1}{2}\int u^5\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^6}{6} + C |
Wir schreiben nun die Antwort in der Variable \displaystyle x, indem wir die Substitution \displaystyle u=x^{2}+3 ausführen.
| \displaystyle \int (x^2+3)^5x\,dx = \frac{(x^2+3)^6}{12}+C\, |
\displaystyle C ist dabei eine beliebige Konstante.
Hinweis: Wir können natürlich unsere Rechnungen überprüfen, indem wir \displaystyle \tfrac{1}{12}( x^{2}+3)^6+C ableiten und sehen, ob wir \displaystyle (x^2+3)^5x\, erhalten.
