Lösung 1.2:4b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| - | (\sin\ln x + \cos\ln x)' | + | (\sin(\ln x) + \cos(\ln x))' |
| - | &= (\sin\ln x)' + (\cos\ln x)'\\[5pt] | + | &= (\sin(\ln x))' + (\cos(\ln x))'\\[5pt] |
| - | &= \cos\ln x\cdot (\ln x)' - \sin\ln x\cdot (\ln x)'\\[5pt] | + | &= \cos(\ln x)\cdot (\ln x)' - \sin(\ln x)\cdot (\ln x)'\\[5pt] |
| - | &= \cos\ln x\cdot\frac{1}{x} - \sin\ln x\cdot\frac{1}{x}\,\,\textrm{.} | + | &= \cos(\ln x)\cdot\frac{1}{x} - \sin(\ln x)\cdot\frac{1}{x}\,\,\textrm{.} |
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| - | \frac{d}{dx}\,\bigl[x(\sin\ln x + \cos\ln x)\bigr] | + | \frac{d}{dx}\,\bigl[x(\sin(\ln x) + \cos(\ln x))\bigr] |
| - | &= \sin \ln x + \cos \ln x + \cos \ln x - \sin \ln x\\[5pt] | + | &= \sin (\ln x) + \cos (\ln x) + \cos (\ln x) - \sin (\ln x)\\[5pt] |
| - | &= 2\cos \ln x\,\textrm{.} | + | &= 2\cos (\ln x)\,\textrm{.} |
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| - | \frac{d}{dx}\,2\cos\ln x | + | \frac{d}{dx}\,2\cos(\ln x) |
| - | &= -2\sin\ln x\cdot (\ln x)'\\[5pt] | + | &= -2\sin(\ln x)\cdot (\ln x)'\\[5pt] |
| - | &= -2\sin\ln x\cdot \frac{1}{x}\\[5pt] | + | &= -2\sin(\ln x)\cdot \frac{1}{x}\\[5pt] |
| - | &= -\frac{2\sin\ln x}{x}\,\textrm{.} | + | &= -\frac{2\sin(\ln x)}{x}\,\textrm{.} |
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
Aktuelle Version
Wir berechnen zuerst die erste Ableitung mit der Faktorregel
| \displaystyle \begin{align}
\frac{d}{dx}\,\bigl[x(\sin\ln x + \cos\ln x)\bigr] &= (x)'\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x) + x\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x)'\\[5pt] &= 1\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x) + x\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x)'\,\textrm{.} \end{align} |
Wir leiten den zweiten Term, Term für Term mit der Kettenregel ab
| \displaystyle \begin{align}
(\sin(\ln x) + \cos(\ln x))' &= (\sin(\ln x))' + (\cos(\ln x))'\\[5pt] &= \cos(\ln x)\cdot (\ln x)' - \sin(\ln x)\cdot (\ln x)'\\[5pt] &= \cos(\ln x)\cdot\frac{1}{x} - \sin(\ln x)\cdot\frac{1}{x}\,\,\textrm{.} \end{align} |
Also haben wir
| \displaystyle \begin{align}
\frac{d}{dx}\,\bigl[x(\sin(\ln x) + \cos(\ln x))\bigr] &= \sin (\ln x) + \cos (\ln x) + \cos (\ln x) - \sin (\ln x)\\[5pt] &= 2\cos (\ln x)\,\textrm{.} \end{align} |
Die zweite Ableitung ist
| \displaystyle \begin{align}
\frac{d}{dx}\,2\cos(\ln x) &= -2\sin(\ln x)\cdot (\ln x)'\\[5pt] &= -2\sin(\ln x)\cdot \frac{1}{x}\\[5pt] &= -\frac{2\sin(\ln x)}{x}\,\textrm{.} \end{align} |
