Lösung 2.2:2d
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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| - | {{ | + | Wir probieren die Substitution <math>u=1-x</math>. |
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| - | {{ | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_0^1 \sqrt[3]{1-x}\,dx = \left\{ \begin{align} |
| + | u &= 1-x\\[5pt] | ||
| + | du &= (1-x)'\,dx = -\,dx | ||
| + | \end{align} \right\} = -\int\limits_1^0 \sqrt[3]{u}\,du\,</math>}} | ||
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| + | Beachte die Änderungen in den Integrationsgrenzen. Wir können jetzt die obere und untere Grenzen wechseln, wenn wir gleichzeitig das Vorzeichen vom Integrand tauschen. | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>-\int\limits_1^0 \sqrt[3]{u}\,du = +\int\limits_0^1 \sqrt[3]{u}\,du\,</math>}} | ||
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| + | Wir erhalten | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| + | \int\limits_0^1 \sqrt[3]{u}\,du | ||
| + | &= \int\limits_0^1 u^{1/3}\,du | ||
| + | = \biggl[\ \frac{u^{1/3+1}}{\tfrac{1}{3}+1}\ \biggr]_0^1\\[5pt] | ||
| + | &= \frac{3}{4}\Bigl[\ u^{4/3}\ \Bigr]_0^1 | ||
| + | = \frac{3}{4}\bigl( 1^{4/3}-0^{4/3} \bigr) = \frac{3}{4}\,\textrm{.} | ||
| + | \end{align}</math>}} | ||
Aktuelle Version
Wir probieren die Substitution \displaystyle u=1-x.
| \displaystyle \int\limits_0^1 \sqrt[3]{1-x}\,dx = \left\{ \begin{align}
u &= 1-x\\[5pt] du &= (1-x)'\,dx = -\,dx \end{align} \right\} = -\int\limits_1^0 \sqrt[3]{u}\,du\, |
Beachte die Änderungen in den Integrationsgrenzen. Wir können jetzt die obere und untere Grenzen wechseln, wenn wir gleichzeitig das Vorzeichen vom Integrand tauschen.
| \displaystyle -\int\limits_1^0 \sqrt[3]{u}\,du = +\int\limits_0^1 \sqrt[3]{u}\,du\, |
Wir erhalten
| \displaystyle \begin{align}
\int\limits_0^1 \sqrt[3]{u}\,du &= \int\limits_0^1 u^{1/3}\,du = \biggl[\ \frac{u^{1/3+1}}{\tfrac{1}{3}+1}\ \biggr]_0^1\\[5pt] &= \frac{3}{4}\Bigl[\ u^{4/3}\ \Bigr]_0^1 = \frac{3}{4}\bigl( 1^{4/3}-0^{4/3} \bigr) = \frac{3}{4}\,\textrm{.} \end{align} |
