Lösung 2.1:5a - Online Mathematik Brückenkurs 2

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                      1. Differentialrechnung
                       
                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
                      Kurs als PDF
                                            
                    
                    
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+			Lösung 2.1:5a
			
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  + &= \frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{9}\,\textrm{.} 
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  + Also ist
  +  
  + {{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}} = \frac{1}{9}\int\bigl(\sqrt{x+9}+\sqrt{x}\,\bigr)\,dx\,\textrm{.}</math>}}
  +  
  + Schreiben wir die Wurzeln als Potenzen, erhalten wir
  +  
  + {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{9}\int\bigl((x+9)^{1/2} + x^{1/2}\bigr)\,dx\,</math>}}
  +  
  + mit der Stammfunktion:
  +  
  + {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
  + \frac{1}{9}\int\bigl((x+9)^{1/2} + x^{1/2}\bigr)\,dx
  + &= \frac{1}{9}\biggl(\frac{(x+9)^{1/2+1}}{\tfrac{1}{2}+1} + \frac{x^{1/2+1}}{\tfrac{1}{2}+1} \biggr)+C\\[5pt] 
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  + &= \frac{1}{9}\Bigl(\frac{2}{3}(x+9)^{3/2} + \frac{2}{3}x^{3/2} \Bigr)+C\\[5pt] 
  + &= \frac{2}{27}(x+9)^{3/2} + \frac{2}{27}x^{3/2}+C\,,
  + \end{align}</math>}}
  +  
  + wobei C eine beliebige Konstante ist. 
  +  
  + Dies ist dasselbe wie
  +  
  + {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2}{27}(x+9)\sqrt{x+9} + \frac{2}{27}x\sqrt{x} + C\,\textrm{.}</math>}}
  +  
  +  
  + Hinweis: Um zu testen, ob wir richtig gerechnet haben, leiten wir unsere Funktion ab und vergleichen mit dem Integrand. 
  +  
  + {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
  + \frac{d}{dx}\Bigl( \frac{2}{27}(x+9)^{3/2} + \frac{2}{27}x^{3/2} + C \Bigr)
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  + &= \frac{1}{9}(x+9)^{1/2} + \frac{1}{9}x^{1/2}\,\textrm{.} 
  + \end{align}</math>}}
Aktuelle Version
Wir erweitern den Bruch mit den Konjugat
\displaystyle \sqrt{x+9}+\sqrt{x} und mit der binomischen Formel erhalten wir





\displaystyle \begin{align}
\frac{1}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}
&= \frac{1}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}\cdot\frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}\\[5pt] 
&= \frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{\bigl(\sqrt{x+9}\,\bigr)^2 - \bigl(\sqrt{x}\,\bigr)^2}\\[5pt] 
&= \frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{x+9-x}\\[5pt] 
&= \frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{9}\,\textrm{.} 
\end{align}



Also ist





\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}} = \frac{1}{9}\int\bigl(\sqrt{x+9}+\sqrt{x}\,\bigr)\,dx\,\textrm{.}


Schreiben wir die Wurzeln als Potenzen, erhalten wir





\displaystyle \frac{1}{9}\int\bigl((x+9)^{1/2} + x^{1/2}\bigr)\,dx\,


mit der Stammfunktion:





\displaystyle \begin{align}
\frac{1}{9}\int\bigl((x+9)^{1/2} + x^{1/2}\bigr)\,dx
&= \frac{1}{9}\biggl(\frac{(x+9)^{1/2+1}}{\tfrac{1}{2}+1} + \frac{x^{1/2+1}}{\tfrac{1}{2}+1} \biggr)+C\\[5pt] 
&= \frac{1}{9}\Bigl(\frac{(x+9)^{3/2}}{3/2} + \frac{x^{3/2}}{3/2} \Bigr)+C\\[5pt] 
&= \frac{1}{9}\Bigl(\frac{2}{3}(x+9)^{3/2} + \frac{2}{3}x^{3/2} \Bigr)+C\\[5pt] 
&= \frac{2}{27}(x+9)^{3/2} + \frac{2}{27}x^{3/2}+C\,,
\end{align}



wobei C eine beliebige Konstante ist. 
Dies ist dasselbe wie





\displaystyle \frac{2}{27}(x+9)\sqrt{x+9} + \frac{2}{27}x\sqrt{x} + C\,\textrm{.}




Hinweis: Um zu testen, ob wir richtig gerechnet haben, leiten wir unsere Funktion ab und vergleichen mit dem Integrand. 





\displaystyle \begin{align}
\frac{d}{dx}\Bigl( \frac{2}{27}(x+9)^{3/2} + \frac{2}{27}x^{3/2} + C \Bigr)
&= \frac{2}{27}\cdot \frac{3}{2}(x+9)^{3/2-1} + \frac{2}{27}\cdot\frac{3}{2} x^{3/2-1} + 0\\[5pt] 
&= \frac{1}{9}(x+9)^{1/2} + \frac{1}{9}x^{1/2}\,\textrm{.} 
\end{align}





Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_2.1:5a“
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+Wir erweitern den Bruch mit den Konjugat
-<center> [[Bild:2_1_5a-1(2).gif]] </center>
+<math>\sqrt{x+9}+\sqrt{x}</math> und mit der binomischen Formel erhalten wir
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-{{NAVCONTENT_START}}
+{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-<center> [[Bild:2_1_5a-2(2).gif]] </center>
+\frac{1}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}
-{{NAVCONTENT_STOP}}
+&= \frac{1}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}\cdot\frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}\\[5pt]
+&= \frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{\bigl(\sqrt{x+9}\,\bigr)^2 - \bigl(\sqrt{x}\,\bigr)^2}\\[5pt]
+&= \frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{x+9-x}\\[5pt]
+&= \frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{9}\,\textrm{.}
+\end{align}</math>}}
+Also ist
+{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}} = \frac{1}{9}\int\bigl(\sqrt{x+9}+\sqrt{x}\,\bigr)\,dx\,\textrm{.}</math>}}
+Schreiben wir die Wurzeln als Potenzen, erhalten wir
+{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{9}\int\bigl((x+9)^{1/2} + x^{1/2}\bigr)\,dx\,</math>}}
+mit der Stammfunktion:
+{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
+\frac{1}{9}\int\bigl((x+9)^{1/2} + x^{1/2}\bigr)\,dx
+&= \frac{1}{9}\biggl(\frac{(x+9)^{1/2+1}}{\tfrac{1}{2}+1} + \frac{x^{1/2+1}}{\tfrac{1}{2}+1} \biggr)+C\\[5pt]
+&= \frac{1}{9}\Bigl(\frac{(x+9)^{3/2}}{3/2} + \frac{x^{3/2}}{3/2} \Bigr)+C\\[5pt]
+&= \frac{1}{9}\Bigl(\frac{2}{3}(x+9)^{3/2} + \frac{2}{3}x^{3/2} \Bigr)+C\\[5pt]
+&= \frac{2}{27}(x+9)^{3/2} + \frac{2}{27}x^{3/2}+C\,,
+\end{align}</math>}}
+wobei C eine beliebige Konstante ist.
+Dies ist dasselbe wie
+{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2}{27}(x+9)\sqrt{x+9} + \frac{2}{27}x\sqrt{x} + C\,\textrm{.}</math>}}
+Hinweis: Um zu testen, ob wir richtig gerechnet haben, leiten wir unsere Funktion ab und vergleichen mit dem Integrand.
+{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
+\frac{d}{dx}\Bigl( \frac{2}{27}(x+9)^{3/2} + \frac{2}{27}x^{3/2} + C \Bigr)
+&= \frac{2}{27}\cdot \frac{3}{2}(x+9)^{3/2-1} + \frac{2}{27}\cdot\frac{3}{2} x^{3/2-1} + 0\\[5pt]
+&= \frac{1}{9}(x+9)^{1/2} + \frac{1}{9}x^{1/2}\,\textrm{.}
+\end{align}</math>}}
 \displaystyle \begin{align}
\frac{1}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}
&= \frac{1}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}\cdot\frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}\\[5pt] 
&= \frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{\bigl(\sqrt{x+9}\,\bigr)^2 - \bigl(\sqrt{x}\,\bigr)^2}\\[5pt] 
&= \frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{x+9-x}\\[5pt] 
&= \frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{9}\,\textrm{.} 
\end{align}
 \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}} = \frac{1}{9}\int\bigl(\sqrt{x+9}+\sqrt{x}\,\bigr)\,dx\,\textrm{.}
 \displaystyle \frac{1}{9}\int\bigl((x+9)^{1/2} + x^{1/2}\bigr)\,dx\,
 \displaystyle \begin{align}
\frac{1}{9}\int\bigl((x+9)^{1/2} + x^{1/2}\bigr)\,dx
&= \frac{1}{9}\biggl(\frac{(x+9)^{1/2+1}}{\tfrac{1}{2}+1} + \frac{x^{1/2+1}}{\tfrac{1}{2}+1} \biggr)+C\\[5pt] 
&= \frac{1}{9}\Bigl(\frac{(x+9)^{3/2}}{3/2} + \frac{x^{3/2}}{3/2} \Bigr)+C\\[5pt] 
&= \frac{1}{9}\Bigl(\frac{2}{3}(x+9)^{3/2} + \frac{2}{3}x^{3/2} \Bigr)+C\\[5pt] 
&= \frac{2}{27}(x+9)^{3/2} + \frac{2}{27}x^{3/2}+C\,,
\end{align}
 \displaystyle \frac{2}{27}(x+9)\sqrt{x+9} + \frac{2}{27}x\sqrt{x} + C\,\textrm{.}
 \displaystyle \begin{align}
\frac{d}{dx}\Bigl( \frac{2}{27}(x+9)^{3/2} + \frac{2}{27}x^{3/2} + C \Bigr)
&= \frac{2}{27}\cdot \frac{3}{2}(x+9)^{3/2-1} + \frac{2}{27}\cdot\frac{3}{2} x^{3/2-1} + 0\\[5pt] 
&= \frac{1}{9}(x+9)^{1/2} + \frac{1}{9}x^{1/2}\,\textrm{.} 
\end{align}