Lösung 2.1:5a
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
Wir erweitern den Bruch mit den Konjugat \displaystyle \sqrt{x+9}+\sqrt{x} und mit der binomischen Formel erhalten wir
| \displaystyle \begin{align}
\frac{1}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}} &= \frac{1}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}\cdot\frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}\\[5pt] &= \frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{\bigl(\sqrt{x+9}\,\bigr)^2 - \bigl(\sqrt{x}\,\bigr)^2}\\[5pt] &= \frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{x+9-x}\\[5pt] &= \frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{9}\,\textrm{.} \end{align} |
Also ist
| \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}} = \frac{1}{9}\int\bigl(\sqrt{x+9}+\sqrt{x}\,\bigr)\,dx\,\textrm{.} |
Schreiben wir die Wurzeln als Potenzen, erhalten wir
| \displaystyle \frac{1}{9}\int\bigl((x+9)^{1/2} + x^{1/2}\bigr)\,dx\, |
mit der Stammfunktion:
| \displaystyle \begin{align}
\frac{1}{9}\int\bigl((x+9)^{1/2} + x^{1/2}\bigr)\,dx &= \frac{1}{9}\biggl(\frac{(x+9)^{1/2+1}}{\tfrac{1}{2}+1} + \frac{x^{1/2+1}}{\tfrac{1}{2}+1} \biggr)+C\\[5pt] &= \frac{1}{9}\Bigl(\frac{(x+9)^{3/2}}{3/2} + \frac{x^{3/2}}{3/2} \Bigr)+C\\[5pt] &= \frac{1}{9}\Bigl(\frac{2}{3}(x+9)^{3/2} + \frac{2}{3}x^{3/2} \Bigr)+C\\[5pt] &= \frac{2}{27}(x+9)^{3/2} + \frac{2}{27}x^{3/2}+C\,, \end{align} |
wobei C eine beliebige Konstante ist.
Dies ist dasselbe wie
| \displaystyle \frac{2}{27}(x+9)\sqrt{x+9} + \frac{2}{27}x\sqrt{x} + C\,\textrm{.} |
Hinweis: Um zu testen, ob wir richtig gerechnet haben, leiten wir unsere Funktion ab und vergleichen mit dem Integrand.
| \displaystyle \begin{align}
\frac{d}{dx}\Bigl( \frac{2}{27}(x+9)^{3/2} + \frac{2}{27}x^{3/2} + C \Bigr) &= \frac{2}{27}\cdot \frac{3}{2}(x+9)^{3/2-1} + \frac{2}{27}\cdot\frac{3}{2} x^{3/2-1} + 0\\[5pt] &= \frac{1}{9}(x+9)^{1/2} + \frac{1}{9}x^{1/2}\,\textrm{.} \end{align} |
