Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Version vom 13:02, 10. Mär. 2009 (bearbeiten) Tekbot (Diskussion | Beiträge) K (Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)) ← Zum vorherigen Versionsunterschied		Aktuelle Version (12:45, 27. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig) Sekretariat1 (Diskussion | Beiträge)
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-	If we differentiate the denominator in the integrand	+	Die Ableitung des Nenners ist
-	{{Abgesetzte Formel||<math>(x^2+1)' = 2x</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>(x^2+1)' = 2x</math>.}}
-	we obtain almost the same expression as in the numerator; there is a constant 2 which is different. We therefore rewrite the numerator as	+	Dies entspricht fast dem Zähler. Wir schreiben den Zähler wie
	{{Abgesetzte Formel||<math>3x = \frac{3}{2}\cdot 2x = \frac{3}{2}\cdot (x^2+1)',</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>3x = \frac{3}{2}\cdot 2x = \frac{3}{2}\cdot (x^2+1)',</math>}}
-	so the integral can be written as	+	sodass wir das folgende Integral erhalten
-	{{Abgesetzte Formel||<math>\int\frac{\tfrac{3}{2}}{x^2+1}\cdot (x^{2}+1)'\,dx\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\int\frac{\tfrac{3}{2}}{x^2+1}\cdot (x^{2}+1)'\,dx\,</math>.}}
-	and we see that the substitution <math>u=x^2+1</math> can be used to simplify the integral,	+	Wir sehen hier, dass die Substitution <math>u=x^2+1</math> günstig ist.
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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	&= \frac{3}{2}\ln |u|+C\\[5pt]		&= \frac{3}{2}\ln |u|+C\\[5pt]
	&= \frac{3}{2}\ln |x^{2}+1|+C\\[5pt]		&= \frac{3}{2}\ln |x^{2}+1|+C\\[5pt]
-	&= \frac{3}{2}\ln (x^{2}+1) + C\,\textrm{.}	+	&= \frac{3}{2}\ln (x^{2}+1) + C
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	In the last step, we take away the absolute sign around the argument in <math>\ln</math>, because <math>x^2+1</math> is always greater than or equal to 1.	+	Im letzten Schritt haben wir das Betragszeichen weggelassen, da <math>x^2+1</math> immer positiv ist.

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Aktuelle Version

Die Ableitung des Nenners ist

\displaystyle (x^2+1)' = 2x.

Dies entspricht fast dem Zähler. Wir schreiben den Zähler wie

\displaystyle 3x = \frac{3}{2}\cdot 2x = \frac{3}{2}\cdot (x^2+1)',

sodass wir das folgende Integral erhalten

\displaystyle \int\frac{\tfrac{3}{2}}{x^2+1}\cdot (x^{2}+1)'\,dx\,.

Wir sehen hier, dass die Substitution \displaystyle u=x^2+1 günstig ist.

\displaystyle \begin{align} \int \frac{3x}{x^2+1}\,dx &= \left\{ \begin{align} u &= x^2+1\\[5pt] du &= (x^2+1)'\,dx = 2x\,dx \end{align}\right\}\\[5pt] &= \frac{3}{2}\int \frac{du}{u}\\[5pt] &= \frac{3}{2}\ln |u|+C\\[5pt] &= \frac{3}{2}\ln |x^{2}+1|+C\\[5pt] &= \frac{3}{2}\ln (x^{2}+1) + C \end{align}

Im letzten Schritt haben wir das Betragszeichen weggelassen, da \displaystyle x^2+1 immer positiv ist.