Lösung 3.4:1c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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If we focus on the leading term <math>x^3</math>, we need to complement it with <math>ax^2</math> in order to get a sub expression that is divisible by the denominator,
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Wir addieren einen Term, sodass wir <math>x^3</math> los werden. Wir addieren und subtrahieren daher <math>ax^2</math>
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{{Displayed math||<math>\frac{x^3+a^3}{x+a} = \frac{x^3+ax^2-ax^2+a^3}{x+a}\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^3+a^3}{x+a} = \frac{x^3+ax^2-ax^2+a^3}{x+a}\,\textrm{.}</math>}}
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With this form on the right-hand side, we can separate away the first two terms in the numerator and have left a polynomial quotient with <math>-ax^2+a^3</math> in the numerator,
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Wir können jetzt den Bruch in zwei Brüche aufteilen, wonach wir einen Bruch dann kürzen können
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\frac{x^3+ax^2-ax^2+a^3}{x+a}
\frac{x^3+ax^2-ax^2+a^3}{x+a}
&= \frac{x^3+ax^2}{x+a} + \frac{-ax^2+a^3}{x+a}\\[5pt]
&= \frac{x^3+ax^2}{x+a} + \frac{-ax^2+a^3}{x+a}\\[5pt]
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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When we treat the new quotient, we add and take away <math>-a^2x</math> to/from <math>-ax^2</math> in order to get something divisible by <math>x+a</math>,
+
Jetzt addieren und subtrahieren wir <math>-a^2x</math> zu/von <math>-ax^2</math> damit wir etwas durch <math>x+a</math> Teilbares erhalten
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
x^2+\frac{-ax^2+a^3}{x+a}
x^2+\frac{-ax^2+a^3}{x+a}
&= x^2 + \frac{-ax^2-a^2x+a^2x+a^3}{x+a}\\[5pt]
&= x^2 + \frac{-ax^2-a^2x+a^2x+a^3}{x+a}\\[5pt]
Zeile 22: Zeile 22:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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In the last quotient, the numerator has <math>x+a</math> as a factor, and we obtain a perfect division,
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Im letzten Bruch haben wir <math>x+a</math> als Faktor im Zähler. Wir erhalten daher
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{{Displayed math||<math>x^2 - ax + \frac{a^2x+a^3}{x+a} = x^2 - ax + \frac{a^2(x+a)}{x+a} = x^2-ax+a^2\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 - ax + \frac{a^2x+a^3}{x+a} = x^2 - ax + \frac{a^2(x+a)}{x+a} = x^2-ax+a^2\,\textrm{.}</math>}}
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If we have calculated correctly, we should have
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Also erhalten wir
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{{Displayed math||<math>\frac{x^3+a^3}{x+a} = x^2-ax+a^2</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^3+a^3}{x+a} = x^2-ax+a^2</math>}}
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and one way to check the answer is to multiply both sides by <math>x+a</math>,
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Um zu testen ob wir richtig gerechnet haben, können wir beide Seiten mit <math>x+a</math> multiplizieren
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{{Displayed math||<math>x^3+a^3 = (x^2-ax+a^2)(x+a)\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^3+a^3 = (x^2-ax+a^2)(x+a)\,\textrm{.}</math>}}
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Then, expand the right-hand side and we should get what is on the left-hand side,
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Erweitern wir die rechte Seite, sollten wir die linke Seite erhalten
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\text{RHS}
+
\text{Rechte Seite}
&= (x^2-ax+a^2)(x+a)\\[5pt]
&= (x^2-ax+a^2)(x+a)\\[5pt]
&= x^3+ax^2-ax^2-a^2x+a^2x+a^3\\[5pt]
&= x^3+ax^2-ax^2-a^2x+a^2x+a^3\\[5pt]
&= x^3+a^3\\[5pt]
&= x^3+a^3\\[5pt]
-
&= \text{LHS.}
+
&= \text{Linke Seite.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Wir addieren einen Term, sodass wir \displaystyle x^3 los werden. Wir addieren und subtrahieren daher \displaystyle ax^2

\displaystyle \frac{x^3+a^3}{x+a} = \frac{x^3+ax^2-ax^2+a^3}{x+a}\,\textrm{.}

Wir können jetzt den Bruch in zwei Brüche aufteilen, wonach wir einen Bruch dann kürzen können

\displaystyle \begin{align}

\frac{x^3+ax^2-ax^2+a^3}{x+a} &= \frac{x^3+ax^2}{x+a} + \frac{-ax^2+a^3}{x+a}\\[5pt] &= \frac{x^2(x+a)}{x+a} + \frac{-ax^2+a^3}{x+a}\\[5pt] &= x^2 + \frac{-ax^2+a^3}{x+a}\,\textrm{.} \end{align}

Jetzt addieren und subtrahieren wir \displaystyle -a^2x zu/von \displaystyle -ax^2 damit wir etwas durch \displaystyle x+a Teilbares erhalten

\displaystyle \begin{align}

x^2+\frac{-ax^2+a^3}{x+a} &= x^2 + \frac{-ax^2-a^2x+a^2x+a^3}{x+a}\\[5pt] &= x^2 + \frac{-ax^2-a^2x}{x+a} + \frac{a^2x+a^3}{x+a}\\[5pt] &= x^2 + \frac{-ax(x+a)}{x+a} + \frac{a^2x+a^3}{x+a}\\[5pt] &= x^2 - ax + \frac{a^2x+a^3}{x+a}\,\textrm{.} \end{align}

Im letzten Bruch haben wir \displaystyle x+a als Faktor im Zähler. Wir erhalten daher

\displaystyle x^2 - ax + \frac{a^2x+a^3}{x+a} = x^2 - ax + \frac{a^2(x+a)}{x+a} = x^2-ax+a^2\,\textrm{.}

Also erhalten wir

\displaystyle \frac{x^3+a^3}{x+a} = x^2-ax+a^2

Um zu testen ob wir richtig gerechnet haben, können wir beide Seiten mit \displaystyle x+a multiplizieren

\displaystyle x^3+a^3 = (x^2-ax+a^2)(x+a)\,\textrm{.}

Erweitern wir die rechte Seite, sollten wir die linke Seite erhalten

\displaystyle \begin{align}

\text{Rechte Seite} &= (x^2-ax+a^2)(x+a)\\[5pt] &= x^3+ax^2-ax^2-a^2x+a^2x+a^3\\[5pt] &= x^3+a^3\\[5pt] &= \text{Linke Seite.} \end{align}

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