Lösung 3.4:7a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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There exists a simple relation between a zero and the polynomial's factorization:
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Ein Polynom mit der Nullstelle <math>z=a</math> enthält den Faktor <math>(z-a)</math>.
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<math>z=a\text{ }</math>
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is a zero if and only if the polynomial contains the factor
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<math>\left( z-a \right)</math>. (This is the meaning of the factor theorem.)
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If we are to have a polynomial with zeros at
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Ein Polynom mit den Nullstellen <math>1</math>, <math>2</math> und <math>4</math> enthält daher die Faktoren <math>(z-1)</math>, <math>(z-2)</math> und <math>(z-4)</math>, zum Beispiel
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<math>1,\ 2</math>
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and
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<math>\text{4}</math>, the polynomial must therefore contain the factors
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<math>\left( z-1 \right),\ \left( z-2 \right)</math>
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and
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<math>\left( z-4 \right)</math>. For example,
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{{Abgesetzte Formel||<math>(z-1)(z-2)(z-4) = z^3-7z^2+14z-8\,\textrm{.}</math>}}
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<math>\left( z-1 \right)\left( z-2 \right)\left( z-4 \right)=z^{3}-7z^{2}+14z-8</math>
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Hinweis: Es ist möglich, das Polynom mit einer Konstante zu multiplizieren und dieselben Nullstellen zu erhalten.
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NOTE: it is possible to multiply the polynomial above by a non-zero constant and get another third-degree polynomial with the same roots.
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Aktuelle Version

Ein Polynom mit der Nullstelle \displaystyle z=a enthält den Faktor \displaystyle (z-a).

Ein Polynom mit den Nullstellen \displaystyle 1, \displaystyle 2 und \displaystyle 4 enthält daher die Faktoren \displaystyle (z-1), \displaystyle (z-2) und \displaystyle (z-4), zum Beispiel

\displaystyle (z-1)(z-2)(z-4) = z^3-7z^2+14z-8\,\textrm{.}

Hinweis: Es ist möglich, das Polynom mit einer Konstante zu multiplizieren und dieselben Nullstellen zu erhalten.

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