Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	Let's rewrite the integral somewhat,	+	Wir schreiben das Integral als
-	{{Displayed math||<math>2\sin\sqrt{x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>2\sin\sqrt{x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}</math>}}
-	Here, we see that the factor on the right, <math>1/2\sqrt{x}</math>, is the derivative of the expression <math>\sqrt{x}</math>, which appears in the factor on the left, <math>2\sin \sqrt{x}\,</math>. With the substitution <math>u=\sqrt{x}</math>, the integrand can therefore be written as	+	und sehen, dass der Faktor <math>1/2\sqrt{x}</math> die Ableitung von <math>\sqrt{x}</math> ist. Durch die Substitution <math>u=\sqrt{x}</math> erhalten wir das Intagral
-	{{Displayed math||<math>2\sin u\cdot u'</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>2\sin u\cdot u'</math>.}}
-	and the integral becomes	+	Also haben wir
-	{{Displayed math||<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
	\int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\,dx		\int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\,dx
	&= \left\{ \begin{align}		&= \left\{ \begin{align}

---

Aktuelle Version

Wir schreiben das Integral als

\displaystyle 2\sin\sqrt{x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}

und sehen, dass der Faktor \displaystyle 1/2\sqrt{x} die Ableitung von \displaystyle \sqrt{x} ist. Durch die Substitution \displaystyle u=\sqrt{x} erhalten wir das Intagral

\displaystyle 2\sin u\cdot u'.

Also haben wir

\displaystyle \begin{align} \int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\,dx &= \left\{ \begin{align} u &= \sqrt{x}\\[5pt] du &= (\sqrt{x}\,)'\,dx = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx \end{align}\, \right\}\\[5pt] &= 2\int \sin u\,du\\[5pt] &= -2\cos u+C\\[5pt] &= -2\cos\sqrt{x} + C\,\textrm{.} \end{align}