Lösung 2.2:3f
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
Wir schreiben das Integral als
| \displaystyle 2\sin\sqrt{x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} |
und sehen, dass der Faktor \displaystyle 1/2\sqrt{x} die Ableitung von \displaystyle \sqrt{x} ist. Durch die Substitution \displaystyle u=\sqrt{x} erhalten wir das Intagral
| \displaystyle 2\sin u\cdot u'. |
Also haben wir
| \displaystyle \begin{align}
\int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\,dx &= \left\{ \begin{align} u &= \sqrt{x}\\[5pt] du &= (\sqrt{x}\,)'\,dx = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx \end{align}\, \right\}\\[5pt] &= 2\int \sin u\,du\\[5pt] &= -2\cos u+C\\[5pt] &= -2\cos\sqrt{x} + C\,\textrm{.} \end{align} |
