Lösung 2.2:2d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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What makes the integral not entirely simple is the expression <math>1-x</math> under the root sign, so we try the substitution <math>u=1-x</math>,
+
Wir probieren die Substitution <math>u=1-x</math>.
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{{Displayed math||<math>\int\limits_0^1 \sqrt[3]{1-x}\,dx = \left\{ \begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_0^1 \sqrt[3]{1-x}\,dx = \left\{ \begin{align}
u &= 1-x\\[5pt]
u &= 1-x\\[5pt]
du &= (1-x)'\,dx = -\,dx
du &= (1-x)'\,dx = -\,dx
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\end{align} \right\} = -\int\limits_1^0 \sqrt[3]{u}\,du\,\textrm{.}</math>}}
+
\end{align} \right\} = -\int\limits_1^0 \sqrt[3]{u}\,du\,</math>}}
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Note how the new limits of integration go from 1 to 0 (and not the other way around!). It is possible to change the order of the limits if we change sign at the same time, i.e.
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Beachte die Änderungen in den Integrationsgrenzen. Wir können jetzt die obere und untere Grenzen wechseln, wenn wir gleichzeitig das Vorzeichen vom Integrand tauschen.
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{{Displayed math||<math>-\int\limits_1^0 \sqrt[3]{u}\,du = +\int\limits_0^1 \sqrt[3]{u}\,du\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>-\int\limits_1^0 \sqrt[3]{u}\,du = +\int\limits_0^1 \sqrt[3]{u}\,du\,</math>}}
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All that is now left is routine calculations,
+
Wir erhalten
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\int\limits_0^1 \sqrt[3]{u}\,du
\int\limits_0^1 \sqrt[3]{u}\,du
&= \int\limits_0^1 u^{1/3}\,du
&= \int\limits_0^1 u^{1/3}\,du

Aktuelle Version

Wir probieren die Substitution \displaystyle u=1-x.

\displaystyle \int\limits_0^1 \sqrt[3]{1-x}\,dx = \left\{ \begin{align}

u &= 1-x\\[5pt] du &= (1-x)'\,dx = -\,dx \end{align} \right\} = -\int\limits_1^0 \sqrt[3]{u}\,du\,

Beachte die Änderungen in den Integrationsgrenzen. Wir können jetzt die obere und untere Grenzen wechseln, wenn wir gleichzeitig das Vorzeichen vom Integrand tauschen.

\displaystyle -\int\limits_1^0 \sqrt[3]{u}\,du = +\int\limits_0^1 \sqrt[3]{u}\,du\,

Wir erhalten

\displaystyle \begin{align}

\int\limits_0^1 \sqrt[3]{u}\,du &= \int\limits_0^1 u^{1/3}\,du = \biggl[\ \frac{u^{1/3+1}}{\tfrac{1}{3}+1}\ \biggr]_0^1\\[5pt] &= \frac{3}{4}\Bigl[\ u^{4/3}\ \Bigr]_0^1 = \frac{3}{4}\bigl( 1^{4/3}-0^{4/3} \bigr) = \frac{3}{4}\,\textrm{.} \end{align}

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