Lösung 2.1:5a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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If we multiply top and bottom of the fraction by the conjugate expression
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Wir erweitern den Bruch mit den Konjugat
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<math>\sqrt{x+9}+\sqrt{x}</math> then the formula for the difference of two squares gives that denominator's root is squared away,
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<math>\sqrt{x+9}+\sqrt{x}</math> und mit der binomischen Formel erhalten wir
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\frac{1}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}
\frac{1}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}
&= \frac{1}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}\cdot\frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}\\[5pt]
&= \frac{1}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}\cdot\frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}\\[5pt]
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Thus,
+
Also ist
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{{Displayed math||<math>\int \frac{dx}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}} = \frac{1}{9}\int\bigl(\sqrt{x+9}+\sqrt{x}\,\bigr)\,dx\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}} = \frac{1}{9}\int\bigl(\sqrt{x+9}+\sqrt{x}\,\bigr)\,dx\,\textrm{.}</math>}}
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If we write the square roots in power form,
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Schreiben wir die Wurzeln als Potenzen, erhalten wir
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{{Displayed math||<math>\frac{1}{9}\int\bigl((x+9)^{1/2} + x^{1/2}\bigr)\,dx\,,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{9}\int\bigl((x+9)^{1/2} + x^{1/2}\bigr)\,dx\,</math>}}
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we see that we have a standard integral and can write down the primitive functions directly,
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mit der Stammfunktion:
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\frac{1}{9}\int\bigl((x+9)^{1/2} + x^{1/2}\bigr)\,dx
\frac{1}{9}\int\bigl((x+9)^{1/2} + x^{1/2}\bigr)\,dx
&= \frac{1}{9}\biggl(\frac{(x+9)^{1/2+1}}{\tfrac{1}{2}+1} + \frac{x^{1/2+1}}{\tfrac{1}{2}+1} \biggr)+C\\[5pt]
&= \frac{1}{9}\biggl(\frac{(x+9)^{1/2+1}}{\tfrac{1}{2}+1} + \frac{x^{1/2+1}}{\tfrac{1}{2}+1} \biggr)+C\\[5pt]
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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where C is an arbitrary constant.
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wobei C eine beliebige Konstante ist.
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This can also be written with square roots as
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Dies ist dasselbe wie
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{{Displayed math||<math>\frac{2}{27}(x+9)\sqrt{x+9} + \frac{2}{27}x\sqrt{x} + C\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2}{27}(x+9)\sqrt{x+9} + \frac{2}{27}x\sqrt{x} + C\,\textrm{.}</math>}}
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Note: To be completely certain that we have done everything correctly, we differentiate the answer and see if we get back the integrand,
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Hinweis: Um zu testen, ob wir richtig gerechnet haben, leiten wir unsere Funktion ab und vergleichen mit dem Integrand.
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\frac{d}{dx}\Bigl( \frac{2}{27}(x+9)^{3/2} + \frac{2}{27}x^{3/2} + C \Bigr)
\frac{d}{dx}\Bigl( \frac{2}{27}(x+9)^{3/2} + \frac{2}{27}x^{3/2} + C \Bigr)
&= \frac{2}{27}\cdot \frac{3}{2}(x+9)^{3/2-1} + \frac{2}{27}\cdot\frac{3}{2} x^{3/2-1} + 0\\[5pt]
&= \frac{2}{27}\cdot \frac{3}{2}(x+9)^{3/2-1} + \frac{2}{27}\cdot\frac{3}{2} x^{3/2-1} + 0\\[5pt]
&= \frac{1}{9}(x+9)^{1/2} + \frac{1}{9}x^{1/2}\,\textrm{.}
&= \frac{1}{9}(x+9)^{1/2} + \frac{1}{9}x^{1/2}\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Wir erweitern den Bruch mit den Konjugat \displaystyle \sqrt{x+9}+\sqrt{x} und mit der binomischen Formel erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

\frac{1}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}} &= \frac{1}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}\cdot\frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}\\[5pt] &= \frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{\bigl(\sqrt{x+9}\,\bigr)^2 - \bigl(\sqrt{x}\,\bigr)^2}\\[5pt] &= \frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{x+9-x}\\[5pt] &= \frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{9}\,\textrm{.} \end{align}

Also ist

\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}} = \frac{1}{9}\int\bigl(\sqrt{x+9}+\sqrt{x}\,\bigr)\,dx\,\textrm{.}

Schreiben wir die Wurzeln als Potenzen, erhalten wir

\displaystyle \frac{1}{9}\int\bigl((x+9)^{1/2} + x^{1/2}\bigr)\,dx\,

mit der Stammfunktion:

\displaystyle \begin{align}

\frac{1}{9}\int\bigl((x+9)^{1/2} + x^{1/2}\bigr)\,dx &= \frac{1}{9}\biggl(\frac{(x+9)^{1/2+1}}{\tfrac{1}{2}+1} + \frac{x^{1/2+1}}{\tfrac{1}{2}+1} \biggr)+C\\[5pt] &= \frac{1}{9}\Bigl(\frac{(x+9)^{3/2}}{3/2} + \frac{x^{3/2}}{3/2} \Bigr)+C\\[5pt] &= \frac{1}{9}\Bigl(\frac{2}{3}(x+9)^{3/2} + \frac{2}{3}x^{3/2} \Bigr)+C\\[5pt] &= \frac{2}{27}(x+9)^{3/2} + \frac{2}{27}x^{3/2}+C\,, \end{align}

wobei C eine beliebige Konstante ist.

Dies ist dasselbe wie

\displaystyle \frac{2}{27}(x+9)\sqrt{x+9} + \frac{2}{27}x\sqrt{x} + C\,\textrm{.}


Hinweis: Um zu testen, ob wir richtig gerechnet haben, leiten wir unsere Funktion ab und vergleichen mit dem Integrand.

\displaystyle \begin{align}

\frac{d}{dx}\Bigl( \frac{2}{27}(x+9)^{3/2} + \frac{2}{27}x^{3/2} + C \Bigr) &= \frac{2}{27}\cdot \frac{3}{2}(x+9)^{3/2-1} + \frac{2}{27}\cdot\frac{3}{2} x^{3/2-1} + 0\\[5pt] &= \frac{1}{9}(x+9)^{1/2} + \frac{1}{9}x^{1/2}\,\textrm{.} \end{align}

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