Lösung 3.4:1b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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The trick is to complement the numerator with terms that are missing so that the division of the leading term (the term of highest degree) becomes possible, and then successively work down in degree until the numerator has lower degree than the denominator.
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Der Trick ist, dass man den Zähler so verändert, dass der Term mit dem höchsten Grad zusammen mit anderen Termen durch den Nenner teilbar ist. Das gelingt, indem man Terme addiert und subtrahiert bis die Division möglich ist.
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In our example, we write first
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In unserem Fall schreiben wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^2}{x+1}=\frac{x^2+x-x}{x+1}\,\textrm{.}</math>}}
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<math>\frac{x^{2}}{x+1}=\frac{x^{2}+x-x}{x+1}</math>
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Wir haben hier <math>x</math> addiert und dann subtrahiert. Jetzt können wir den <math>x^2</math>-Term los werden
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\frac{x^2+x-x}{x+1}
 +
&= \frac{x^2+x}{x+1}-\frac{x}{x+1}
 +
= \frac{x(x+1)}{x+1}-\frac{x}{x+1}
 +
= x-\frac{x}{x+1}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
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Note that we have added
+
Wir haben also <math>x</math> addiert, sodass der Term <math>x^2+x</math> durch <math>x+1</math> teilbar wird.
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<math>x</math>
+
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and then taken away the same
+
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<math>x</math>
+
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in the numerator. The reason why we do it in this way is that we can now eliminate terms in
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<math>x^{2}</math>:
+
 +
Mit dem zweiten Term <math>x/(x+1)</math> machen wir es ähnlich. Wir addieren und subtrahieren <math>1</math> zum/vom Zähler, sodass wir <math>x+1</math> erhalten
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<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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& \frac{x^{2}+x-x}{x+1}=\frac{x^{2}+x}{x+1}-\frac{x}{x+1}=\frac{x\left( x+1 \right)}{x+1}-\frac{x}{x+1} \\
+
x-\frac{x}{x+1} = x-\frac{x+1-1}{x+1} = x-\frac{x+1}{x+1}+\frac{1}{x+1}
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& =x-\frac{x}{x+1} \\
+
= x-1+\frac{1}{x+1}\,\textrm{.}
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\end{align}</math>
+
\end{align}</math>}}
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Der Rest hat jetzt einen niedrigeren Grad als der Nenner und damit sind wir mit der Division fertig.
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Thus, we added <math>x</math>
+
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which is precisely what is necessary in order that
+
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<math>x^{2}+x</math>
+
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should have
+
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<math>x+1</math>
+
-
as a factor.
+
-
 
+
-
We can treat the second term
+
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<math>{x}/{\left( x+1 \right)}\;</math> in a similar way. Add and take away
+
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<math>\text{1}</math>
+
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in order to get
+
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<math>x+\text{1}</math>, which can then be divided away:
+
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+
-
 
+
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<math>\begin{align}
+
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& x-\frac{x}{x+1}=x-\frac{x+1-1}{x+1}=x-\frac{x+1}{x+1}+\frac{1}{x+1} \\
+
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& =x-1+\frac{1}{x+1} \\
+
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\end{align}</math>
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-
 
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In the remaining polynomial fraction, the numerator is of higher degree than the denominator and we cannot go any further with the division.
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Aktuelle Version

Der Trick ist, dass man den Zähler so verändert, dass der Term mit dem höchsten Grad zusammen mit anderen Termen durch den Nenner teilbar ist. Das gelingt, indem man Terme addiert und subtrahiert bis die Division möglich ist.

In unserem Fall schreiben wir

\displaystyle \frac{x^2}{x+1}=\frac{x^2+x-x}{x+1}\,\textrm{.}

Wir haben hier \displaystyle x addiert und dann subtrahiert. Jetzt können wir den \displaystyle x^2-Term los werden

\displaystyle \begin{align}

\frac{x^2+x-x}{x+1} &= \frac{x^2+x}{x+1}-\frac{x}{x+1} = \frac{x(x+1)}{x+1}-\frac{x}{x+1} = x-\frac{x}{x+1}\,\textrm{.} \end{align}

Wir haben also \displaystyle x addiert, sodass der Term \displaystyle x^2+x durch \displaystyle x+1 teilbar wird.

Mit dem zweiten Term \displaystyle x/(x+1) machen wir es ähnlich. Wir addieren und subtrahieren \displaystyle 1 zum/vom Zähler, sodass wir \displaystyle x+1 erhalten

\displaystyle \begin{align}

x-\frac{x}{x+1} = x-\frac{x+1-1}{x+1} = x-\frac{x+1}{x+1}+\frac{1}{x+1} = x-1+\frac{1}{x+1}\,\textrm{.} \end{align}

Der Rest hat jetzt einen niedrigeren Grad als der Nenner und damit sind wir mit der Division fertig.

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