Lösung 2.2:2b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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If we set
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Mit der Substitution <math>u=2x+3</math> erhalten wir das Intagral <math>e^u</math>. Wir müssen aber auch den Faktor <math>dx</math> berücksichtigen. In diesem Fall erhalten wir
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<math>u=\text{2}x+\text{3}</math>
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, the integral simplifies to
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<math>e^{u}</math>. However, this is only part of the truth. We must in addition take account of the relation between the integration element
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<math>dx\text{ }</math>
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and
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<math>du</math>, which can give undesired effects. In this case, however, we have
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{{Abgesetzte Formel||<math>du = (2x+3)'\,dx = 2\,dx</math>.}}
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<math>du=\left( \text{2}x+\text{3} \right)^{\prime }\,dx=2\,dx</math>
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Dies ändert den Integrand nur mit einer Konstante, also erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\int\limits_0^{1/2} e^{2x+3}\,dx &= \left\{\begin{align}
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u &= 2x+3\\[5pt]
 +
du &= 2\,dx
 +
\end{align}\right\} = \frac{1}{2}\int\limits_3^4 e^u\,du\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{2}\Bigl[\ e^u\ \Bigr]_3^4 = \frac{1}{2}\bigl(e^4-e^3\bigr)\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}
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which only affects by a constant factor, so the substitution
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Hinweis: Eine weitere mögliche Substitution ist <math>u=e^{2x+3}</math>. Normalerweise funktioniert es aber nicht mit so "großen" Substitutionen.
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<math>u=\text{2}x+\text{3}</math>
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seems to work, in spite of everything:
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<math>\begin{align}
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& \int\limits_{0}^{{1}/{2}\;}{e^{\text{2}x+\text{3}}}\,dx=\left\{ \begin{matrix}
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u=\text{2}x+\text{3} \\
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du=2\,dx \\
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\end{matrix} \right\}=\frac{1}{2}\int\limits_{3}^{4}{e^{u}\,du} \\
+
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& =\frac{1}{2}\left[ e^{u} \right]_{3}^{4}=\frac{1}{2}\left( e^{4}-e^{3} \right) \\
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\end{align}</math>
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NOTE: Another possible substitution is
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<math>u=e^{2x+3}</math>
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which also happens to work (usually, such an extensive substitution almost always fails).
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Aktuelle Version

Mit der Substitution \displaystyle u=2x+3 erhalten wir das Intagral \displaystyle e^u. Wir müssen aber auch den Faktor \displaystyle dx berücksichtigen. In diesem Fall erhalten wir

\displaystyle du = (2x+3)'\,dx = 2\,dx.

Dies ändert den Integrand nur mit einer Konstante, also erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

\int\limits_0^{1/2} e^{2x+3}\,dx &= \left\{\begin{align} u &= 2x+3\\[5pt] du &= 2\,dx \end{align}\right\} = \frac{1}{2}\int\limits_3^4 e^u\,du\\[5pt] &= \frac{1}{2}\Bigl[\ e^u\ \Bigr]_3^4 = \frac{1}{2}\bigl(e^4-e^3\bigr)\,\textrm{.} \end{align}

Hinweis: Eine weitere mögliche Substitution ist \displaystyle u=e^{2x+3}. Normalerweise funktioniert es aber nicht mit so "großen" Substitutionen.

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