Lösung 2.2:1b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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For an indefinite integral, we do not need to take account of the limits of integration when substituting variables, but at the end, when the integral has been calculated, we do need to change back to the variable
+
Um ein unbestimmtes Integral zu berechnen, besteht kein Bedarf die Grenzen zu ändern. Wir müssen aber nach der Integration wieder zurück zu der Variable <math>x</math> gehen.
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<math>x</math>
+
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(because the original integral was expressed in
+
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<math>x</math>).
+
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If we start by looking at the integration element
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Das Verhältnis zwischen <math>dx</math> und <math>du</math> lautet
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<math>du</math>, the relation between
+
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<math>dx</math>
+
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and
+
-
<math>du</math>
+
-
reads
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>du = u'(x)\,dx = (x^2+3)'\,dx = 2x\,dx\,</math>}}
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<math>du={u}'\left( x \right)\,dx=\left( x^{2}+3 \right)^{\prime }\,dx=2x\,dx</math>,
+
oder
-
which can be written as
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du\,\textrm{.}</math>}}
-
 
+
Da <math>x\,dx</math> ein Faktor im Integrand ist, können wir die Substitution <math>u=x^{2}+3</math> direkt ausführen.
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<math>x\,dx=\frac{1}{2}\,du</math>
+
-
 
+
-
 
+
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The expression
+
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<math>x\,dx</math>
+
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is present as a factor in the integral, and so everything is there for the substitution
+
-
<math>u=x^{2}+3</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\int (x^2+3)^5x\,dx = \left\{\begin{align}
 +
u &= x^2+3\\[5pt]
 +
du &= 2x\,dx
 +
\end{align}\right\} = \int u^5\cdot\tfrac{1}{2}\,du</math>}}
 +
Dies ist nun ein Standardintegral, das wir direkt berechnen.
-
<math>\int{\left( x^{2}+3 \right)}^{5}x\,dx=\left\{ \begin{matrix}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{2}\int u^5\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^6}{6} + C</math>}}
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u=x^{2}+3 \\
+
-
du=2x\,dx \\
+
-
\end{matrix} \right\}=\int{u^{5}}\centerdot \frac{1}{2}\,du</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
The result on the right-hand side is a standard integral, which we integrate directly,
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-
 
+
-
 
+
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<math>\frac{1}{2}\int{u^{5}}\,du=\frac{1}{2}\centerdot \frac{u^{6}}{6}+C</math>
+
-
 
+
-
 
+
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We write the answer expressed in
+
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<math>x\text{ }</math>
+
-
by substituting back
+
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<math>u=x^{2}+3</math>,
+
 +
Wir schreiben nun die Antwort in der Variable <math>x</math>, indem wir die Substitution <math>u=x^{2}+3</math> ausführen.
-
<math>\int{\left( x^{2}+3 \right)}^{5}x\,dx=\frac{\left( x^{2}+3 \right)^{6}}{12}+C</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int (x^2+3)^5x\,dx = \frac{(x^2+3)^6}{12}+C\,</math>}}
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where
+
<math>C</math> ist dabei eine beliebige Konstante.
-
<math>C</math>
+
-
is an arbitrary constant.
+
-
NOTE: it is possible to check the answer by differentiating
+
Hinweis: Wir können natürlich unsere Rechnungen überprüfen, indem wir <math>\tfrac{1}{12}( x^{2}+3)^6+C</math> ableiten und sehen, ob wir <math>(x^2+3)^5x\,</math> erhalten.
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<math>\frac{1}{12}\left( x^{2}+3 \right)^{6}+C</math>
+
-
and seeing that we get back the integrand
+
-
<math>\left( x^{2}+3 \right)^{5}x</math>.
+

Aktuelle Version

Um ein unbestimmtes Integral zu berechnen, besteht kein Bedarf die Grenzen zu ändern. Wir müssen aber nach der Integration wieder zurück zu der Variable \displaystyle x gehen.

Das Verhältnis zwischen \displaystyle dx und \displaystyle du lautet

\displaystyle du = u'(x)\,dx = (x^2+3)'\,dx = 2x\,dx\,

oder

\displaystyle x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du\,\textrm{.}

Da \displaystyle x\,dx ein Faktor im Integrand ist, können wir die Substitution \displaystyle u=x^{2}+3 direkt ausführen.

\displaystyle \int (x^2+3)^5x\,dx = \left\{\begin{align}

u &= x^2+3\\[5pt] du &= 2x\,dx \end{align}\right\} = \int u^5\cdot\tfrac{1}{2}\,du

Dies ist nun ein Standardintegral, das wir direkt berechnen.

\displaystyle \frac{1}{2}\int u^5\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^6}{6} + C

Wir schreiben nun die Antwort in der Variable \displaystyle x, indem wir die Substitution \displaystyle u=x^{2}+3 ausführen.

\displaystyle \int (x^2+3)^5x\,dx = \frac{(x^2+3)^6}{12}+C\,

\displaystyle C ist dabei eine beliebige Konstante.

Hinweis: Wir können natürlich unsere Rechnungen überprüfen, indem wir \displaystyle \tfrac{1}{12}( x^{2}+3)^6+C ableiten und sehen, ob wir \displaystyle (x^2+3)^5x\, erhalten.

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