Lösung 2.2:1a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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A substitution of variables is often carried out so as to transform a complicated integral to one that is less complicated which one can either directly calculate or continue to work with.
+
Durch eine Substitution können wir ein kompliziertes Integral in vielen Fällen in ein einfacheres Integral bringen.
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When we carry out a substitution of variables
+
Wenn wir die Substitution <math>u=u(x)</math> durchführen, müssen wir folgendes bedenken:
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<math>u=u\left( x \right)</math>, there are three things which are affected in the integral:
+
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1. the integral must be rewritten in terms of the new variable
+
# Das Integral muss mit der neuen Variable <math>u</math> umgeschrieben werden.
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<math>u</math>;
+
# <math>dx</math> muss mit <math>du</math> ersetzt werden, indem <math>du=u'(x)\,dx</math>.
-
2. the element of integration,
+
# Die Integrationsgrenzen müssen an die neue Variable <math>u</math> angepasst werden.
-
<math>dx</math>, is replaced by
+
-
<math>du</math>, according to the formula
+
-
<math>du={u}'\left( x \right)dx</math>;
+
-
3. the limits of integration are for
+
-
<math>x\text{ }</math>
+
-
and must be changed to limits of integration for the variable
+
-
<math>u</math>.
+
-
In this case, we will perform the change of variables
+
In diesem Fall machen wir die Substitution <math>u=3x-1</math>, da <math>1/(3x-1)^4</math> mit <math>1/u^4</math> ersetzt wird und dieser Ausdruck einfacher zu integrieren ist.
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<math>u=3x-1</math>, mainly because the integrand
+
-
<math>\frac{1}{\left( 3x-1 \right)^{4}}</math>
+
-
will then be replaced by
+
-
<math>\frac{1}{u^{4}}</math>.
+
-
The relation between
+
Das Verhältnis zwischen <math>dx</math> und <math>du</math> lautet
-
<math>dx</math>
+
-
and
+
-
<math>du</math>
+
-
reads
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>du = u'(x)\,dx = (3x-1)'\,dx = 3\,dx\,,</math>}}
-
<math>du={u}'\left( x \right)\,dx=\left( 3x-1 \right)^{\prime }\,dx=3\,dx</math>,
+
also ersetzen wir <math> dx </math> mit <math>\tfrac{1}{3} du</math>.
-
which means that
+
Weiterhin entspricht die untere Integrationsgrenze <math>x=1</math>, <math>u=3\cdot 1-1=2</math>. Die obere Integrationsgrenze
-
<math>dx</math>
+
<math>x=2</math> entspricht <math>u=3\cdot 2-1=5\,</math>.
-
is replaced by
+
-
<math>\frac{1}{3}\,du</math>.
+
-
Furthermore, when
+
Die Schreibweise für die Variabelsubstitution ist meistens
-
<math>x=\text{1}</math>
+
-
in the lower limit of integration, the corresponding
+
-
<math>u</math>
+
-
-value becomes
+
-
<math>u=3\centerdot 1-1=2</math>, and when
+
-
<math>x=2</math>, we obtain the u-value
+
-
<math>u=3\centerdot 2-1=5</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_1^2 \frac{dx}{(3x-1)^4} = \left\{ \begin{align}
 +
u &= 3x-1\\[5pt]
 +
du &= 3\,dx
 +
\end{align} \right\} = \int\limits_2^5 \frac{\tfrac{1}{3}\,du}{u^4}\,</math>}}
-
One usually writes the whole substitution of variables as
+
oder weniger detailliert
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_1^2 \frac{dx}{(3x-1)^4} = \bigl\{ u=3x-1 \bigr\} = \int\limits_2^5 \frac{\tfrac{1}{3}\,du}{u^4}\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>\int\limits_{1}^{2}{\frac{\,dx}{\left( 3x-1 \right)^{4}}}=\left\{ \begin{matrix}
+
Nach der Substitution erhalten wir ein einfaches Integral. Die ganze Rechnung lautet
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u=3x-1 \\
+
-
du=3\,dx \\
+
-
\end{matrix} \right\}=\int\limits_{2}^{5}{\frac{\frac{1}{3}\,du}{u^{4}}}</math>
+
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
Sometimes, we are more brief and hide the details:
+
\int\limits_1^2 \frac{dx}{(3x-1)^4}
-
 
+
&= \left\{\begin{align}
-
 
+
u &= 3x-1\\[5pt]
-
<math>\int\limits_{1}^{2}{\frac{\,dx}{\left( 3x-1 \right)^{4}}}=\left\{ u=3x-1 \right\}=\int\limits_{2}^{5}{\frac{\frac{1}{3}\,du}{u^{4}}}</math>
+
du &= 3\,dx
-
 
+
\end{align}\right\}
-
 
+
= \int\limits_2^5 \frac{\tfrac{1}{3}\,du}{u^4}
-
After the substitution of variables, we have a standard integral which is easy to compute.
+
= \frac{1}{3}\int\limits_2^5 u^{-4}\,du\\[5pt]
-
 
+
&= \frac{1}{3}\Bigl[\ \frac{u^{-4+1}}{-4+1}\ \Bigr]_2^5
-
In summary, the whole calculation is:
+
= -\frac{1}{9}\Bigl[\ \frac{1}{u^3}\ \Bigr]_2^5
-
 
+
= -\frac{1}{9}\Bigl(\frac{1}{5^3} - \frac{1}{2^3} \Bigr)
-
 
+
= -\frac{1}{9}\cdot\frac{2^3-5^3}{2^3\cdot 5^3}\\[5pt]
-
<math>\begin{align}
+
&= \frac{117}{3^2\cdot 2^3\cdot 5^3}
-
& \int\limits_{1}^{2}{\frac{\,dx}{\left( 3x-1 \right)^{4}}}=\left\{ \begin{matrix}
+
= \frac{3^2\cdot 13}{3^2\cdot 2^3\cdot 5^3}
-
u=3x-1 \\
+
= \frac{13}{2^3\cdot 5^3}
-
du=3\,dx \\
+
= \frac{13}{1000}\,\textrm{.}
-
\end{matrix} \right\}=\int\limits_{2}^{5}{\frac{\frac{1}{3}\,du}{u^{4}}} \\
+
\end{align}</math>}}
-
& =\frac{1}{3}\int\limits_{2}^{5}{\,u^{-4}du}=\left[ \frac{u^{-4+1}}{-4+1} \right]_{2}^{5} \\
+
-
& =-\frac{1}{9}\left[ \frac{1}{u^{3}} \right]_{2}^{5}=-\frac{1}{9}\left( \frac{1}{5^{3}}-\frac{1}{2^{3}} \right) \\
+
-
& =-\frac{1}{9}\centerdot \frac{2^{3}-5^{3}}{2^{3}\centerdot 5^{3}}=\frac{117}{3^{2}\centerdot 2^{3}\centerdot 5^{3}} \\
+
-
& =\frac{3^{2}\centerdot 13}{3^{2}\centerdot 2^{3}\centerdot 5^{3}}=\frac{13}{2^{3}\centerdot 5^{3}}=\frac{13}{1000} \\
+
-
\end{align}</math>.
+

Aktuelle Version

Durch eine Substitution können wir ein kompliziertes Integral in vielen Fällen in ein einfacheres Integral bringen.

Wenn wir die Substitution \displaystyle u=u(x) durchführen, müssen wir folgendes bedenken:

  1. Das Integral muss mit der neuen Variable \displaystyle u umgeschrieben werden.
  2. \displaystyle dx muss mit \displaystyle du ersetzt werden, indem \displaystyle du=u'(x)\,dx.
  3. Die Integrationsgrenzen müssen an die neue Variable \displaystyle u angepasst werden.

In diesem Fall machen wir die Substitution \displaystyle u=3x-1, da \displaystyle 1/(3x-1)^4 mit \displaystyle 1/u^4 ersetzt wird und dieser Ausdruck einfacher zu integrieren ist.

Das Verhältnis zwischen \displaystyle dx und \displaystyle du lautet

\displaystyle du = u'(x)\,dx = (3x-1)'\,dx = 3\,dx\,,

also ersetzen wir \displaystyle dx mit \displaystyle \tfrac{1}{3} du.

Weiterhin entspricht die untere Integrationsgrenze \displaystyle x=1, \displaystyle u=3\cdot 1-1=2. Die obere Integrationsgrenze \displaystyle x=2 entspricht \displaystyle u=3\cdot 2-1=5\,.

Die Schreibweise für die Variabelsubstitution ist meistens

\displaystyle \int\limits_1^2 \frac{dx}{(3x-1)^4} = \left\{ \begin{align}

u &= 3x-1\\[5pt] du &= 3\,dx \end{align} \right\} = \int\limits_2^5 \frac{\tfrac{1}{3}\,du}{u^4}\,

oder weniger detailliert

\displaystyle \int\limits_1^2 \frac{dx}{(3x-1)^4} = \bigl\{ u=3x-1 \bigr\} = \int\limits_2^5 \frac{\tfrac{1}{3}\,du}{u^4}\,\textrm{.}

Nach der Substitution erhalten wir ein einfaches Integral. Die ganze Rechnung lautet

\displaystyle \begin{align}

\int\limits_1^2 \frac{dx}{(3x-1)^4} &= \left\{\begin{align} u &= 3x-1\\[5pt] du &= 3\,dx \end{align}\right\} = \int\limits_2^5 \frac{\tfrac{1}{3}\,du}{u^4} = \frac{1}{3}\int\limits_2^5 u^{-4}\,du\\[5pt] &= \frac{1}{3}\Bigl[\ \frac{u^{-4+1}}{-4+1}\ \Bigr]_2^5 = -\frac{1}{9}\Bigl[\ \frac{1}{u^3}\ \Bigr]_2^5 = -\frac{1}{9}\Bigl(\frac{1}{5^3} - \frac{1}{2^3} \Bigr) = -\frac{1}{9}\cdot\frac{2^3-5^3}{2^3\cdot 5^3}\\[5pt] &= \frac{117}{3^2\cdot 2^3\cdot 5^3} = \frac{3^2\cdot 13}{3^2\cdot 2^3\cdot 5^3} = \frac{13}{2^3\cdot 5^3} = \frac{13}{1000}\,\textrm{.} \end{align}

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