Lösung 2.1:5a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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(HINT: multiply the top and bottom by the conjugate of the denominator.)
+
Wir erweitern den Bruch mit den Konjugat
 +
<math>\sqrt{x+9}+\sqrt{x}</math> und mit der binomischen Formel erhalten wir
-
If we multiply top and bottom of the fraction by the conjugate expression,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
<math>\sqrt{x+9}+\sqrt{x}</math>, then the conjugate rule gives that denominator's root is squared away:
+
\frac{1}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}
 +
&= \frac{1}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}\cdot\frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}\\[5pt]
 +
&= \frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{\bigl(\sqrt{x+9}\,\bigr)^2 - \bigl(\sqrt{x}\,\bigr)^2}\\[5pt]
 +
&= \frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{x+9-x}\\[5pt]
 +
&= \frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{9}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
 +
Also ist
-
<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}} = \frac{1}{9}\int\bigl(\sqrt{x+9}+\sqrt{x}\,\bigr)\,dx\,\textrm{.}</math>}}
-
& \frac{1}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}\centerdot \frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}} \\
+
-
& =\frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x+9} \right)^{2}-\left( \sqrt{x} \right)^{2}} \\
+
-
& =\frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{x+9-x} \\
+
-
& =\frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{9} \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
Schreiben wir die Wurzeln als Potenzen, erhalten wir
-
Thus,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{9}\int\bigl((x+9)^{1/2} + x^{1/2}\bigr)\,dx\,</math>}}
 +
mit der Stammfunktion:
-
<math>\int{\frac{\,dx}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}}=\frac{1}{9}\int{\left( \sqrt{x+9}+\sqrt{x} \right)}\,dx</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\frac{1}{9}\int\bigl((x+9)^{1/2} + x^{1/2}\bigr)\,dx
 +
&= \frac{1}{9}\biggl(\frac{(x+9)^{1/2+1}}{\tfrac{1}{2}+1} + \frac{x^{1/2+1}}{\tfrac{1}{2}+1} \biggr)+C\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{9}\Bigl(\frac{(x+9)^{3/2}}{3/2} + \frac{x^{3/2}}{3/2} \Bigr)+C\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{9}\Bigl(\frac{2}{3}(x+9)^{3/2} + \frac{2}{3}x^{3/2} \Bigr)+C\\[5pt]
 +
&= \frac{2}{27}(x+9)^{3/2} + \frac{2}{27}x^{3/2}+C\,,
 +
\end{align}</math>}}
 +
wobei C eine beliebige Konstante ist.
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If we write the square roots in power form,
+
Dies ist dasselbe wie
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2}{27}(x+9)\sqrt{x+9} + \frac{2}{27}x\sqrt{x} + C\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>\frac{1}{9}\int{\left( \left( x+9 \right)^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{2}} \right)}\,dx</math>,
 
-
we see that we have a standard integral and can write down the primitive functions directly:
+
Hinweis: Um zu testen, ob wir richtig gerechnet haben, leiten wir unsere Funktion ab und vergleichen mit dem Integrand.
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
<math>\begin{align}
+
\frac{d}{dx}\Bigl( \frac{2}{27}(x+9)^{3/2} + \frac{2}{27}x^{3/2} + C \Bigr)
-
& \frac{1}{9}\int{\left( \left( x+9 \right)^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{2}} \right)}\,dx=\frac{1}{9}\left( \frac{\left( x+9 \right)^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} \right)+C \\
+
&= \frac{2}{27}\cdot \frac{3}{2}(x+9)^{3/2-1} + \frac{2}{27}\cdot\frac{3}{2} x^{3/2-1} + 0\\[5pt]
-
& =\frac{1}{9}\left( \frac{\left( x+9 \right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right)+C \\
+
&= \frac{1}{9}(x+9)^{1/2} + \frac{1}{9}x^{1/2}\,\textrm{.}
-
& =\frac{1}{9}\left( \frac{2}{3}\left( x+9 \right)^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right)+C \\
+
\end{align}</math>}}
-
& =\frac{2}{27}\left( x+9 \right)^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{27}x^{\frac{3}{2}}+C \\
+
-
& \\
+
-
\end{align}</math>,
+
-
 
+
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where C is an arbitrary constant.
+
-
 
+
-
This can also be written with square roots as
+
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+
-
 
+
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<math>\frac{2}{27}\left( x+9 \right)\sqrt{x+9}+\frac{2}{27}x\sqrt{x}+C</math>
+
-
 
+
-
 
+
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To be completely certain that we have everything correctly, we differentiate the answer and see if we get back the integrand:
+
-
 
+
-
 
+
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<math>\begin{align}
+
-
& \frac{d}{dx}\left( \frac{2}{27}\left( x+9 \right)^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{27}x^{\frac{3}{2}}+C \right) \\
+
-
& =\frac{2}{27}\centerdot \frac{3}{2}\left( x+9 \right)^{\frac{3}{2}-1}+\frac{2}{27}\centerdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}+0 \\
+
-
& =\frac{1}{9}\left( x+9 \right)^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{9}x^{\frac{1}{2}} \\
+
-
\end{align}</math>
+

Aktuelle Version

Wir erweitern den Bruch mit den Konjugat \displaystyle \sqrt{x+9}+\sqrt{x} und mit der binomischen Formel erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

\frac{1}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}} &= \frac{1}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}\cdot\frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}\\[5pt] &= \frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{\bigl(\sqrt{x+9}\,\bigr)^2 - \bigl(\sqrt{x}\,\bigr)^2}\\[5pt] &= \frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{x+9-x}\\[5pt] &= \frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{9}\,\textrm{.} \end{align}

Also ist

\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}} = \frac{1}{9}\int\bigl(\sqrt{x+9}+\sqrt{x}\,\bigr)\,dx\,\textrm{.}

Schreiben wir die Wurzeln als Potenzen, erhalten wir

\displaystyle \frac{1}{9}\int\bigl((x+9)^{1/2} + x^{1/2}\bigr)\,dx\,

mit der Stammfunktion:

\displaystyle \begin{align}

\frac{1}{9}\int\bigl((x+9)^{1/2} + x^{1/2}\bigr)\,dx &= \frac{1}{9}\biggl(\frac{(x+9)^{1/2+1}}{\tfrac{1}{2}+1} + \frac{x^{1/2+1}}{\tfrac{1}{2}+1} \biggr)+C\\[5pt] &= \frac{1}{9}\Bigl(\frac{(x+9)^{3/2}}{3/2} + \frac{x^{3/2}}{3/2} \Bigr)+C\\[5pt] &= \frac{1}{9}\Bigl(\frac{2}{3}(x+9)^{3/2} + \frac{2}{3}x^{3/2} \Bigr)+C\\[5pt] &= \frac{2}{27}(x+9)^{3/2} + \frac{2}{27}x^{3/2}+C\,, \end{align}

wobei C eine beliebige Konstante ist.

Dies ist dasselbe wie

\displaystyle \frac{2}{27}(x+9)\sqrt{x+9} + \frac{2}{27}x\sqrt{x} + C\,\textrm{.}


Hinweis: Um zu testen, ob wir richtig gerechnet haben, leiten wir unsere Funktion ab und vergleichen mit dem Integrand.

\displaystyle \begin{align}

\frac{d}{dx}\Bigl( \frac{2}{27}(x+9)^{3/2} + \frac{2}{27}x^{3/2} + C \Bigr) &= \frac{2}{27}\cdot \frac{3}{2}(x+9)^{3/2-1} + \frac{2}{27}\cdot\frac{3}{2} x^{3/2-1} + 0\\[5pt] &= \frac{1}{9}(x+9)^{1/2} + \frac{1}{9}x^{1/2}\,\textrm{.} \end{align}

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