Lösung 1.1:1a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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The derivative
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Die Ableitung <math>f^{\,\prime}(-5)</math> entspricht der momentanen Steigung der Funktion im Punkt <math>x=-5</math>, also wie schnell sich der Funktionswert in einer Umgebung von <math>x=-5\,</math> ändert.
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<math>{f}'\left( -4 \right)</math>
+
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gives the function's instantaneous rate of change at the point
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<math>x=-\text{4}</math>, i.e. it is a measure of the function's value changes in the vicinity of
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<math>x=-\text{4}</math>.
+
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In the graph of the function, this derivative is equal to the slope of the tangent to the curve of function at the point
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Die Ableitung ist genau dasselbe wie die Steigung der Tangente im Punkt <math>x=-5\,</math>.
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<math>x=-\text{4}</math>.
+
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{| align="center"
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||{{:1.1 - Figure - Lösung - The graph of f(x) in exercise 1.1:1a with the tangent line at x = -5}}
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|-
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||<small>Die rote Tangente hat die Gleichung <br>''y''&nbsp;=&nbsp;''kx''&nbsp;+&nbsp;''m'', wo ''k''&nbsp;=&nbsp;''f'''(-5).</small>
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|}
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Da die Tangente eine positive Steigung hat, ist <math>f^{\,\prime}(-5) > 0\,</math>.
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Im Punkt <math>x=1</math> hat die Tangente eine negative Steigung und daher ist
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[[Image:1_1_1_a1.gif|center]]
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<math>f^{\,\prime}(1) < 0\,</math>.
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<math>y=kx+m\text{ }</math>
+
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where
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<math>k={f}'\left( -\text{4} \right)</math>
+
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Because the tangent is sloping upwards, it has a positive gradient and therefore
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<math>{f}'\left( -\text{4} \right)>0</math>.
+
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At the point
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<math>x=\text{1}</math>, the tangent slopes downwards and this means that
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<math>{f}'\left( \text{1} \right)<0</math>.
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[[Image:1_1_1_a2.gif|center]]
+
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<math>y=kx+m\text{ }</math>
+
{| align="center"
-
where
+
||{{:1.1 - Figure - Lösung - The graph of f(x) in exercise 1.1:1a with the tangent line at x = 1}}
-
<math>k={f}'\left( 1 \right)</math>
+
|-
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||<small>Die rote Tangente hat die Gleichung <br>''y''&nbsp;=&nbsp;''kx''&nbsp;+&nbsp;''m'', wo ''k''&nbsp;=&nbsp;''f'''(1).</small>
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|}

Aktuelle Version

Die Ableitung \displaystyle f^{\,\prime}(-5) entspricht der momentanen Steigung der Funktion im Punkt \displaystyle x=-5, also wie schnell sich der Funktionswert in einer Umgebung von \displaystyle x=-5\, ändert.

Die Ableitung ist genau dasselbe wie die Steigung der Tangente im Punkt \displaystyle x=-5\,.

[Image]

Die rote Tangente hat die Gleichung
y = kx + m, wo k = f'(-5).

Da die Tangente eine positive Steigung hat, ist \displaystyle f^{\,\prime}(-5) > 0\,.

Im Punkt \displaystyle x=1 hat die Tangente eine negative Steigung und daher ist \displaystyle f^{\,\prime}(1) < 0\,.

[Image]

Die rote Tangente hat die Gleichung
y = kx + m, wo k = f'(1).
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