Lösung 2.2:3d
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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| + | Also ist das Integral | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{\tfrac{1}{2}}{x^2+2x+2}\cdot (x^2+2x+2)'\,dx\,\textrm{.}</math>}} | ||
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| + | Durch die Substitution <math>u=x^2+2x+2</math> erhalten wir ein einfacheres Integral. | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| + | \int \frac{x+1}{x^2+2x+2}\,dx | ||
| + | &= \left\{\begin{align} | ||
| + | u &= x^2+2x+2\\[5pt] | ||
| + | du &= (x^2+2x+2)'\,dx = 2(x+1)\,dx | ||
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| + | &= \frac{1}{2}\int \frac{du}{u}\\[5pt] | ||
| + | &= \frac{1}{2}\ln |u| + C\\[5pt] | ||
| + | &= \frac{1}{2}\ln |x^2+2x+2| + C | ||
| + | \end{align}</math>}} | ||
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| + | Hinweis: Durch die quadratische Ergänzung | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>x^2+2x+2 = (x+1)^2-1^2+2 = (x+1)^2+1</math>}} | ||
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| + | sehen wir, dass <math>x^2+2x+2</math> immer größer als 1 ist. Daher können wir das Betragszeichen weglassen. | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{2}\ln (x^2+2x+2) + C</math>}} | ||
Aktuelle Version
Wir sehen, dass die Ableitung des Nenners fast der Zähler ist
| \displaystyle (x^2+2x+2)' = 2x+2 = 2(x+1). |
Also ist das Integral
| \displaystyle \int \frac{\tfrac{1}{2}}{x^2+2x+2}\cdot (x^2+2x+2)'\,dx\,\textrm{.} |
Durch die Substitution \displaystyle u=x^2+2x+2 erhalten wir ein einfacheres Integral.
| \displaystyle \begin{align}
\int \frac{x+1}{x^2+2x+2}\,dx &= \left\{\begin{align} u &= x^2+2x+2\\[5pt] du &= (x^2+2x+2)'\,dx = 2(x+1)\,dx \end{align}\right\}\\[5pt] &= \frac{1}{2}\int \frac{du}{u}\\[5pt] &= \frac{1}{2}\ln |u| + C\\[5pt] &= \frac{1}{2}\ln |x^2+2x+2| + C \end{align} |
Hinweis: Durch die quadratische Ergänzung
| \displaystyle x^2+2x+2 = (x+1)^2-1^2+2 = (x+1)^2+1 |
sehen wir, dass \displaystyle x^2+2x+2 immer größer als 1 ist. Daher können wir das Betragszeichen weglassen.
| \displaystyle \frac{1}{2}\ln (x^2+2x+2) + C |
