Lösung 3.3:2c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Wir bringen <math>z</math> und <math>-1-i</math> in Polarform.
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Mit den Moivreschen Gesetz erhalten wir die Gleichung
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Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten und erhalten
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5\alpha &= \frac{5\pi}{4} + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
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Die Argumente <math>5\alpha</math> und <math>5\pi/4</math> können sich mit einem Vielfachen von <math>2\pi</math> unterscheiden und trotzdem derselben komplexen Zahl entsprechen.
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Wir erhalten also
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r &= \sqrt[5]{\sqrt{2}} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{1/5} = 2^{1/10}\,,\\[5pt]
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\alpha &= \frac{1}{5}\Bigl(\frac{5\pi}{4}+2n\pi\Bigr) = \frac{\pi}{4} + \frac{2n\pi}{5}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
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Wir sehen, dass das Argument <math>\alpha</math> nur 5 verschiedene Werte annimmt
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da sich die Winkel dann wiederholen.
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Die Wurzeln sind also
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{{Abgesetzte Formel||<math>z = 2^{1/10}\,\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{4}+\frac{2n\pi}{5}\Bigr) + i\sin\Bigl(\frac{\pi}{4}+\frac{2n\pi}{5}\Bigr)\Bigr)\,,</math>}}
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für <math>n=0</math>, <math>1</math>, <math>2</math>, <math>3</math> und
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<math>4</math>.
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Alernativer Lösungsweg: [[3.3:2c_alternativ_exp|Exponentialdarstellung]]

Aktuelle Version

Wir bringen \displaystyle z und \displaystyle -1-i in Polarform.

\displaystyle \begin{align}

z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,\\[5pt] -1-i &= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr) \end{align}

Mit den Moivreschen Gesetz erhalten wir die Gleichung

\displaystyle r^5(\cos 5\alpha + i\sin 5\alpha) = \sqrt{2}\Bigl(\cos \frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\textrm{.}

Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten und erhalten

\displaystyle \left\{\begin{align}

r^5 &= \sqrt{2}\,,\\[5pt] 5\alpha &= \frac{5\pi}{4} + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).} \end{align}\right.


Die Argumente \displaystyle 5\alpha und \displaystyle 5\pi/4 können sich mit einem Vielfachen von \displaystyle 2\pi unterscheiden und trotzdem derselben komplexen Zahl entsprechen.

Wir erhalten also

\displaystyle \left\{\begin{align}

r &= \sqrt[5]{\sqrt{2}} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{1/5} = 2^{1/10}\,,\\[5pt] \alpha &= \frac{1}{5}\Bigl(\frac{5\pi}{4}+2n\pi\Bigr) = \frac{\pi}{4} + \frac{2n\pi}{5}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).} \end{align}\right.

Wir sehen, dass das Argument \displaystyle \alpha nur 5 verschiedene Werte annimmt

\displaystyle \frac{\pi}{4}, \displaystyle \quad\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{5}, \displaystyle \quad\frac{\pi}{4}+\frac{4\pi}{5}, \displaystyle \quad\frac{\pi}{4}+\frac{6\pi}{5}\quad und \displaystyle \quad\frac{\pi}{4}+\frac{8\pi}{5},

da sich die Winkel dann wiederholen.

Die Wurzeln sind also

\displaystyle z = 2^{1/10}\,\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{4}+\frac{2n\pi}{5}\Bigr) + i\sin\Bigl(\frac{\pi}{4}+\frac{2n\pi}{5}\Bigr)\Bigr)\,,

für \displaystyle n=0, \displaystyle 1, \displaystyle 2, \displaystyle 3 und \displaystyle 4.

Alernativer Lösungsweg: Exponentialdarstellung

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