Lösung 3.4:5

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-
A polynomial is said to have a triple root
+
Ein Polynom hat die dreifache Nullstelle <math>z=c</math>, wenn das Polynom den Faktor <math>(z-c)^3</math> enthält.
-
<math>z=c</math>
+
-
if the equation contains the factor
+
-
<math>\left( z-c \right)^{3}</math>
+
 +
In unseren Fall bedeutet dies, dass
-
For our equation, this means that the left-hand side can be factorized as
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z^4-6z^2+az+b = (z-c)^3(z-d)</math> ,}}
 +
wobei <math>z=c</math> die dreifache Nullstelle ist und
 +
<math>z=d</math> die vierte Nullstelle ist, da ein Polynom mit dem Grad 4 immer 4 Nullstellen hat.
-
<math>z^{4}-6z^{2}+az+b=\left( z-c \right)^{3}\left( z-d \right)</math>
+
Wir bestimmen jetzt <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> und <math>d</math>, sodass die obere Gleichung stimmt.
 +
Multiplizieren wir die rechte Seite aus, erhalten wir
-
according to the factor theorem, where
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
<math>z=c</math>
+
(z-c)^3(z-d)
-
is the triple root and
+
&= (z-c)^2(z-c)(z-d)\\[5pt]
-
<math>z=d\text{ }</math>
+
&= (z^2-2cz+c^2)(z-c)(z-d)\\[5pt]
-
is the equation's fourth root (according to the fundamental theorem of algebra, a fourth-order equation always has four roots, taking into account multiplicity).
+
&= (z^3-3cz^2+3c^2z-c^3)(z-d)\\[5pt]
 +
&= z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c+3d)z+c^3d
 +
\end{align}</math>}}
-
We will now try to determine
+
und daher muss
-
<math>a</math>,
+
-
<math>b</math>,
+
-
<math>c</math>
+
-
and
+
-
<math>d</math>
+
-
so that both sides in the factorization above agree.
+
-
If we expand the right-hand side above, we get
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z^4-6z^2+az+b = z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c+3d)z+c^3d\,\textrm{.}</math>}}
 +
Weil zwei Polynome nur dann gleich sind, wenn alle Koeffizienten gleich sind, erhalten wir die Gleichungen
-
<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
-
& \left( z-c \right)^{3}\left( z-d \right)=\left( z-c \right)^{2}\left( z-c \right)\left( z-d \right) \\
+
3c+d &= 0\,,\\[5pt]
-
& =\left( z^{2}-2cz+c^{2} \right)\left( z-c \right)\left( z-d \right) \\
+
3c(c+d) &= -6\,,\\[5pt]
-
& =\left( z^{3}-3cz^{2}+3c^{2}z-c^{3} \right)\left( z-d \right) \\
+
-c^2(c+3d) &= a\,,\\[5pt]
-
& =z^{4}-\left( 3c+d \right)z^{3}+3c\left( c+d \right)z^{2}-c^{2}\left( c-3d \right)z+c^{3}d \\
+
c^3d &= b\,\textrm{.}
-
\end{align}</math>
+
\end{align}\right.</math>}}
 +
Aus der ersten Gleichung erhalten wir <math>d=-3c</math> und mit der zweiten Gleichung erhalten wir eine Gleichung für <math>c</math>
-
and this means that we must have
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
3c(c-3c) &= -6\,,\\[5pt]
 +
-6c^2 &= -6\,,
 +
\end{align}</math>}}
-
 
+
also <math>c=-1</math> oder <math>c=1</math>. Da <math>d=-3c</math>, ist <math>d=3</math> oder <math>d=-3</math>. Durch die zwei übrigen Gleichungen erhalten wir
-
<math>z^{4}-6z^{2}+az+b=z^{4}-\left( 3c+d \right)z^{3}+3c\left( c+d \right)z^{2}-c^{2}\left( c-3d \right)z+c^{3}d.</math>
+
<math>a</math> und <math>b</math>
-
 
+
-
 
+
-
Because two polynomials are equal if an only if their coefficients are equal, this gives
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
3c+d=0 \\
+
-
3c\left( c+d \right)=-6 \\
+
-
-c^{2}\left( c-3d \right)=a \\
+
-
c^{3}d=b \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
From the first equation, we obtain
+
-
<math>d=-\text{3}c\text{ }</math>
+
-
and substituting this into the second equation gives us an equation for
+
-
<math>c</math>,
+
<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
-
& 3c\left( c-3c \right)=-6 \\
+
c=1,\ d=-3:\quad a &= -1^2\cdot (1+3\cdot (-3)) = -8\,,\\[5pt]
-
& -6c^{2}=-6 \\
+
b &= 1^3\cdot (-3) = -3\,,\\[10pt]
 +
c=-1,\ d=3:\quad a &= -(-1)^2\cdot (-1-3\cdot 3) = 8\,,\\[5pt]
 +
b &= (-1)^3\cdot 3 = -3\,\textrm{.}
\end{align}</math>
\end{align}</math>
 +
Daher gibt es zwei mögliche Antworten,
-
i.e.
+
:*<math>a=-8</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Nullstelle in <math>z=1</math> und eine einfache Nullstelle in <math>z=-3</math>,
-
<math>c=-\text{1 }</math>
+
-
or
+
-
<math>c=\text{1}</math>. The relation
+
-
<math>d=-\text{3}c\text{ }</math>
+
-
gives that the corresponding values for
+
-
<math>d</math>
+
-
are
+
-
<math>d=3</math>
+
-
and
+
-
<math>d=-3</math>. The two last equations give us the corresponding values for
+
-
<math>a</math>
+
-
and
+
-
<math>b</math>,
+
-
 
+
:*<math>a=8</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Nullstelle in <math>z=-1</math> und eine einfache Nullstelle in <math>z=3</math>.
-
<math>\begin{align}
+
-
& c=1,\ d=-3:\quad a=-1^{2}\centerdot \left( 1-3\centerdot \left( -3 \right) \right)=8 \\
+
-
& b=1^{3}\centerdot \left( -3 \right)=-3 \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
Da solch eine lange Rechnung fehleranfällig ist, überprüfen wir das Ergebnis noch mit einer Probe:
<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
-
& c=-1,\ d=3:\quad a=-\left( -1 \right)^{2}\centerdot \left( -1-3\centerdot 3 \right)=10 \\
+
c=1,\ d=-3:\quad
-
& b=\left( -1 \right)^{3}\centerdot 3=-3 \\
+
(z-1)^3(z+3) &= (z^3-3z^2+3z-1)(z+3) \\
 +
&= z^4 - 3z^3 +3z^2 -z +3z^3-9z^2+9z-3 \\
 +
&= z^4 -6z^2 +8z-3
 +
\\[10pt]
 +
c=-1,\ d=3: \quad
 +
(z+1)^3(z-3) &= (z^3+3z^2+3z+1)(z-3) \\
 +
&= z^4 + 3z^3 +3z^2 +z -3z^3-9z^2-9z-3\\
 +
&= z^4 -6z^2 -8z-3
 +
\,\textrm{.}
\end{align}</math>
\end{align}</math>
- 
- 
-
Therefore, there are two different answers:
 
- 
- 
-
<math>\bullet \quad a=\text{8 }</math>
 
-
and
 
-
<math>b=-\text{3}</math>
 
-
give the triple root
 
-
<math>z=\text{1}</math>
 
-
and the single root
 
-
<math>z=-\text{3}</math>;
 
- 
-
<math>\bullet \quad a=10</math>
 
-
and
 
-
<math>b=-\text{3 }</math>give the triple root
 
-
<math>z=-\text{1 }</math>
 
-
and the single root
 
-
<math>z=\text{3}</math>.
 

Aktuelle Version

Ein Polynom hat die dreifache Nullstelle \displaystyle z=c, wenn das Polynom den Faktor \displaystyle (z-c)^3 enthält.

In unseren Fall bedeutet dies, dass

\displaystyle z^4-6z^2+az+b = (z-c)^3(z-d) ,

wobei \displaystyle z=c die dreifache Nullstelle ist und \displaystyle z=d die vierte Nullstelle ist, da ein Polynom mit dem Grad 4 immer 4 Nullstellen hat.

Wir bestimmen jetzt \displaystyle a, \displaystyle b, \displaystyle c und \displaystyle d, sodass die obere Gleichung stimmt.

Multiplizieren wir die rechte Seite aus, erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

(z-c)^3(z-d) &= (z-c)^2(z-c)(z-d)\\[5pt] &= (z^2-2cz+c^2)(z-c)(z-d)\\[5pt] &= (z^3-3cz^2+3c^2z-c^3)(z-d)\\[5pt] &= z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c+3d)z+c^3d \end{align}

und daher muss

\displaystyle z^4-6z^2+az+b = z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c+3d)z+c^3d\,\textrm{.}

Weil zwei Polynome nur dann gleich sind, wenn alle Koeffizienten gleich sind, erhalten wir die Gleichungen

\displaystyle \left\{\begin{align}

3c+d &= 0\,,\\[5pt] 3c(c+d) &= -6\,,\\[5pt] -c^2(c+3d) &= a\,,\\[5pt] c^3d &= b\,\textrm{.} \end{align}\right.

Aus der ersten Gleichung erhalten wir \displaystyle d=-3c und mit der zweiten Gleichung erhalten wir eine Gleichung für \displaystyle c

\displaystyle \begin{align}

3c(c-3c) &= -6\,,\\[5pt] -6c^2 &= -6\,, \end{align}

also \displaystyle c=-1 oder \displaystyle c=1. Da \displaystyle d=-3c, ist \displaystyle d=3 oder \displaystyle d=-3. Durch die zwei übrigen Gleichungen erhalten wir \displaystyle a und \displaystyle b


\displaystyle \begin{align} c=1,\ d=-3:\quad a &= -1^2\cdot (1+3\cdot (-3)) = -8\,,\\[5pt] b &= 1^3\cdot (-3) = -3\,,\\[10pt] c=-1,\ d=3:\quad a &= -(-1)^2\cdot (-1-3\cdot 3) = 8\,,\\[5pt] b &= (-1)^3\cdot 3 = -3\,\textrm{.} \end{align}

Daher gibt es zwei mögliche Antworten,

  • \displaystyle a=-8 und \displaystyle b=-3 ergibt eine dreifache Nullstelle in \displaystyle z=1 und eine einfache Nullstelle in \displaystyle z=-3,
  • \displaystyle a=8 und \displaystyle b=-3 ergibt eine dreifache Nullstelle in \displaystyle z=-1 und eine einfache Nullstelle in \displaystyle z=3.


Da solch eine lange Rechnung fehleranfällig ist, überprüfen wir das Ergebnis noch mit einer Probe:

\displaystyle \begin{align} c=1,\ d=-3:\quad (z-1)^3(z+3) &= (z^3-3z^2+3z-1)(z+3) \\ &= z^4 - 3z^3 +3z^2 -z +3z^3-9z^2+9z-3 \\ &= z^4 -6z^2 +8z-3 \\[10pt] c=-1,\ d=3: \quad (z+1)^3(z-3) &= (z^3+3z^2+3z+1)(z-3) \\ &= z^4 + 3z^3 +3z^2 +z -3z^3-9z^2-9z-3\\ &= z^4 -6z^2 -8z-3 \,\textrm{.} \end{align}

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