2.1 Übungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
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{{Ej vald flik|[[2.1 Introduction to integrals|Theory]]}}
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{{Nicht gewählter Tab|[[2.1 Einführung zur Integralrechnung|Theorie]]}}
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{{Vald flik|[[2.1 Övningar|Exercises]]}}
+
{{Gewählter Tab|[[2.1 Übungen|Übungen]]}}
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===Exercise 2.1:1===
+
===Übung 2.1:1===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
-
Interpret each integral as an area, and determine its value.
+
Interpretiere folgende Integrale als eine Fläche und berechne die Integrale.
{| width="100%" cellspacing="10px"
{| width="100%" cellspacing="10px"
Zeile 22: Zeile 22:
|width="50%"| <math>\displaystyle\int_{-1}^{2}|x| \, dx</math>
|width="50%"| <math>\displaystyle\int_{-1}^{2}|x| \, dx</math>
|}
|}
-
</div>{{#NAVCONTENT:Answer|Svar 2.1:1|Solution a|Lösning 2.1:1a|Solution b|Lösning 2.1:1b|Solution c|Lösning 2.1:1c|Solution d|Lösning 2.1:1d}}
+
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 2.1:1|Lösung a|Lösung 2.1:1a|Lösung b|Lösung 2.1:1b|Lösung c|Lösung 2.1:1c|Lösung d|Lösung 2.1:1d}}
-
===Exercise 2.1:2===
+
===Übung 2.1:2===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
-
Calculate the integrals
+
Berechne die Integrale.
{| width="100%" cellspacing="10px"
{| width="100%" cellspacing="10px"
|a)
|a)
Zeile 38: Zeile 38:
|width="50%"| <math>\displaystyle\int_{1}^{4} \displaystyle\frac{\sqrt{x}}{x^2}\, dx</math>
|width="50%"| <math>\displaystyle\int_{1}^{4} \displaystyle\frac{\sqrt{x}}{x^2}\, dx</math>
|}
|}
-
</div>{{#NAVCONTENT:Answer|Svar 2.1:2|Solution a|Lösning 2.1:2a|Solution b|Lösning 2.1:2b|Solution c|Lösning 2.1:2c|Solution d|Lösning 2.1:2d}}
+
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 2.1:2|Lösung a|Lösung 2.1:2a|Lösung b|Lösung 2.1:2b|Lösung c|Lösung 2.1:2c|Lösung d|Lösung 2.1:2d}}
-
===Exercise 2.1:3===
+
===Übung 2.1:3===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
-
Calculate the integrals
+
Berechne die Integrale.
{| width="100%" cellspacing="10px"
{| width="100%" cellspacing="10px"
|a)
|a)
Zeile 54: Zeile 54:
|width="50%"| <math>\displaystyle\int \displaystyle\frac{x^2+1}{x}\, dx</math>
|width="50%"| <math>\displaystyle\int \displaystyle\frac{x^2+1}{x}\, dx</math>
|}
|}
-
</div>{{#NAVCONTENT:Answer|Svar 2.1:3|Solution a|Lösning 2.1:3a|Solution b|Lösning 2.1:3b|Solution c|Lösning 2.1:3c|Solution d|Lösning 2.1:3d}}
+
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 2.1:3|Lösung a|Lösung 2.1:3a|Lösung b|Lösung 2.1:3b|Lösung c|Lösung 2.1:3c|Lösung d|Lösung 2.1:3d}}
-
===Exercise 2.1:4===
+
===Übung 2.1:4===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
{| width="100%" cellspacing="10px"
{| width="100%" cellspacing="10px"
|a)
|a)
-
|width="100%"| Calculate the area between the curve <math>y=\sin x</math> and the <math>x</math>-axis when <math>0\le x \le \frac{5\pi}{4}</math>.
+
|width="100%"| Berechne die Fläche zwischen <math>y=\sin x</math> und der <math>x</math>-Achse für <math>0\le x \le \frac{5\pi}{4}</math>.
|-
|-
|b)
|b)
-
|width="100%"| Calculate the area under the curve <math>y=-x^2+2x+2</math> and above the <math>x</math>-axis.
+
|width="100%"| Berechne die Fläche zwischen der Funktion <math>y=-x^2+2x+2</math> und der <math>x</math>-Achse.
|-
|-
|c)
|c)
-
|width="100%"| Calculate the area of the finite region between the curves <math> y=\frac{1}{4}x^2+2</math> and <math>y=8-\frac{1}{8}x^2</math> (Swedish A-level 1965).
+
|width="100%"| Berechne die Fläche des endlichen Gebietes zwischen den Funktionen <math> y=\frac{1}{4}x^2+2</math> und <math>y=8-\frac{1}{8}x^2 \,.</math>
|-
|-
|d)
|d)
-
|width="100%"| Calculate the area of the finite region enclosed by the curves <math> y=x+2, y=1 </math> and <math> y=\frac{1}{x}</math>.
+
|width="100%"| Berechne die Fläche des Gebietes zwischen den Funktionen <math> y=x+2, y=1 </math> und <math> y=\frac{1}{x}</math>.
|-
|-
|e)
|e)
-
|width="100%"| Calculate the area of the region given by the inequality, <math>x^2\le y\le x+2</math>.
+
|width="100%"| Berechne die Fläche des Gebietes, das durch die Ungleichung <math>x^2\le y\le x+2</math> definiert ist.
|}
|}
-
</div>{{#NAVCONTENT:Answer|Svar 2.1:4|Solution a|Lösning 2.1:4a|Solution b|Lösning 2.1:4b|Solution c|Lösning 2.1:4c|Solution d|Lösning 2.1:4d|Solution e|Lösning 2.1:4e}}
+
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 2.1:4|Lösung a|Lösung 2.1:4a|Lösung b|Lösung 2.1:4b|Lösung c|Lösung 2.1:4c|Lösung d|Lösung 2.1:4d|Lösung e|Lösung 2.1:4e}}
-
===Exercise 2.1:5===
+
===Übung 2.1:5===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
-
Calculate the integral
+
Berechne das Integral.
{| width="100%" cellspacing="10px"
{| width="100%" cellspacing="10px"
|a)
|a)
-
|width="100%"| <math>\displaystyle \int \displaystyle\frac{dx}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}\quad</math> (HINT: multiply the top and bottom by the conjugate of the denominator)
+
|width="100%"| <math>\displaystyle \int \displaystyle\frac{dx}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}\quad</math> (Hinweis: erweitere den Bruch, so dass der Nenner keine Wurzeln mehr enthält)
|-
|-
|b)
|b)
-
|width="100%"| <math>\displaystyle \int \sin^2 x\ dx\quad</math> (HINT: rewrite the integrand using a trigonometric formula)
+
|width="100%"| <math>\displaystyle \int \sin^2 x\ dx\quad</math> (Hinweis: schreibe den Integrand mit einer trigonometrischen Identität um)
|}
|}
-
</div>{{#NAVCONTENT:Answer|Svar 2.1:5|Solution a|Lösning 2.1:5a|Solution b|Lösning 2.1:5b}}
+
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 2.1:5|Lösung a|Lösung 2.1:5a|Lösung b|Lösung 2.1:5b}}
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'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
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Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest den Link zu den Prüfungen in Deiner Student Lounge.

Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Übung 2.1:1

Interpretiere folgende Integrale als eine Fläche und berechne die Integrale.

a) \displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{2} 2\, dx b) \displaystyle \displaystyle\int_{0}^{1} (2x+1)\, dx
c) \displaystyle \displaystyle \int_{0}^{2} (3-2x)\, dx d) \displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{2}|x| \, dx
Antwort
Antwort 2.1:1
Lösung a
Lösung 2.1:1a
Lösung b
Lösung 2.1:1b
Lösung c
Lösung 2.1:1c
Lösung d
Lösung 2.1:1d

Übung 2.1:2

Berechne die Integrale.

a) \displaystyle \displaystyle\int_{0}^{2} (x^2+3x^3)\, dx b) \displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{2} (x-2)(x+1)\, dx
c) \displaystyle \displaystyle\int_{4}^{9} \left(\sqrt{x} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\, dx d) \displaystyle \displaystyle\int_{1}^{4} \displaystyle\frac{\sqrt{x}}{x^2}\, dx
Antwort
Antwort 2.1:2
Lösung a
Lösung 2.1:2a
Lösung b
Lösung 2.1:2b
Lösung c
Lösung 2.1:2c
Lösung d
Lösung 2.1:2d

Übung 2.1:3

Berechne die Integrale.

a) \displaystyle \displaystyle\int \sin x\, dx b) \displaystyle \displaystyle\int 2\sin x \cos x\, dx
c) \displaystyle \displaystyle\int e^{2x}(e^x+1)\, dx d) \displaystyle \displaystyle\int \displaystyle\frac{x^2+1}{x}\, dx
Antwort
Antwort 2.1:3
Lösung a
Lösung 2.1:3a
Lösung b
Lösung 2.1:3b
Lösung c
Lösung 2.1:3c
Lösung d
Lösung 2.1:3d

Übung 2.1:4

a) Berechne die Fläche zwischen \displaystyle y=\sin x und der \displaystyle x-Achse für \displaystyle 0\le x \le \frac{5\pi}{4}.
b) Berechne die Fläche zwischen der Funktion \displaystyle y=-x^2+2x+2 und der \displaystyle x-Achse.
c) Berechne die Fläche des endlichen Gebietes zwischen den Funktionen \displaystyle y=\frac{1}{4}x^2+2 und \displaystyle y=8-\frac{1}{8}x^2 \,.
d) Berechne die Fläche des Gebietes zwischen den Funktionen \displaystyle y=x+2, y=1 und \displaystyle y=\frac{1}{x}.
e) Berechne die Fläche des Gebietes, das durch die Ungleichung \displaystyle x^2\le y\le x+2 definiert ist.
Antwort
Antwort 2.1:4
Lösung a
Lösung 2.1:4a
Lösung b
Lösung 2.1:4b
Lösung c
Lösung 2.1:4c
Lösung d
Lösung 2.1:4d
Lösung e
Lösung 2.1:4e

Übung 2.1:5

Berechne das Integral.

a) \displaystyle \displaystyle \int \displaystyle\frac{dx}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}\quad (Hinweis: erweitere den Bruch, so dass der Nenner keine Wurzeln mehr enthält)
b) \displaystyle \displaystyle \int \sin^2 x\ dx\quad (Hinweis: schreibe den Integrand mit einer trigonometrischen Identität um)
Antwort
Antwort 2.1:5
Lösung a
Lösung 2.1:5a
Lösung b
Lösung 2.1:5b


Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest den Link zu den Prüfungen in Deiner Student Lounge.

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