Lösung 1.2:4b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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To start with, we determine the first derivative and begin by using the product rule,
+
Wir berechnen zuerst die erste Ableitung mit der Faktorregel
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
We divide up the differentiation of the second term in sections and use the chain rule,
+
Wir leiten den zweiten Term, Term für Term mit der Kettenregel ab
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
(\sin\ln x + \cos\ln x)'
+
(\sin(\ln x) + \cos(\ln x))'
-
&= (\sin\ln x)' + (\cos\ln x)'\\[5pt]
+
&= (\sin(\ln x))' + (\cos(\ln x))'\\[5pt]
-
&= \cos\ln x\cdot (\ln x)' - \sin\ln x\cdot (\ln x)'\\[5pt]
+
&= \cos(\ln x)\cdot (\ln x)' - \sin(\ln x)\cdot (\ln x)'\\[5pt]
-
&= \cos\ln x\cdot\frac{1}{x} - \sin\ln x\cdot\frac{1}{x}\,\textrm{.}
+
&= \cos(\ln x)\cdot\frac{1}{x} - \sin(\ln x)\cdot\frac{1}{x}\,\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
This means that
+
Also haben wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
\frac{d}{dx}\,\bigl[x(\sin\ln x + \cos\ln x)\bigr]
+
\frac{d}{dx}\,\bigl[x(\sin(\ln x) + \cos(\ln x))\bigr]
-
&= \sin \ln x + \cos \ln x + \cos \ln x - \sin \ln x\\[5pt]
+
&= \sin (\ln x) + \cos (\ln x) + \cos (\ln x) - \sin (\ln x)\\[5pt]
-
&= 2\cos \ln x\,\textrm{.}
+
&= 2\cos (\ln x)\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
The second derivative is
+
Die zweite Ableitung ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
\frac{d}{dx}\,2\cos\ln x
+
\frac{d}{dx}\,2\cos(\ln x)
-
&= -2\sin\ln x\cdot (\ln x)'\\[5pt]
+
&= -2\sin(\ln x)\cdot (\ln x)'\\[5pt]
-
&= -2\sin\ln x\cdot \frac{1}{x}\\[5pt]
+
&= -2\sin(\ln x)\cdot \frac{1}{x}\\[5pt]
-
&= -\frac{2\sin\ln x}{x}\,\textrm{.}
+
&= -\frac{2\sin(\ln x)}{x}\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Wir berechnen zuerst die erste Ableitung mit der Faktorregel

\displaystyle \begin{align}

\frac{d}{dx}\,\bigl[x(\sin\ln x + \cos\ln x)\bigr] &= (x)'\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x) + x\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x)'\\[5pt] &= 1\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x) + x\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x)'\,\textrm{.} \end{align}

Wir leiten den zweiten Term, Term für Term mit der Kettenregel ab

\displaystyle \begin{align}

(\sin(\ln x) + \cos(\ln x))' &= (\sin(\ln x))' + (\cos(\ln x))'\\[5pt] &= \cos(\ln x)\cdot (\ln x)' - \sin(\ln x)\cdot (\ln x)'\\[5pt] &= \cos(\ln x)\cdot\frac{1}{x} - \sin(\ln x)\cdot\frac{1}{x}\,\,\textrm{.} \end{align}

Also haben wir

\displaystyle \begin{align}

\frac{d}{dx}\,\bigl[x(\sin(\ln x) + \cos(\ln x))\bigr] &= \sin (\ln x) + \cos (\ln x) + \cos (\ln x) - \sin (\ln x)\\[5pt] &= 2\cos (\ln x)\,\textrm{.} \end{align}

Die zweite Ableitung ist

\displaystyle \begin{align}

\frac{d}{dx}\,2\cos(\ln x) &= -2\sin(\ln x)\cdot (\ln x)'\\[5pt] &= -2\sin(\ln x)\cdot \frac{1}{x}\\[5pt] &= -\frac{2\sin(\ln x)}{x}\,\textrm{.} \end{align}

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