Lösung 1.2:4b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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To start with, we determine the first derivative and begin by using the product rule:
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Wir berechnen zuerst die erste Ableitung mit der Faktorregel
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\frac{d}{dx}\,\bigl[x(\sin\ln x + \cos\ln x)\bigr]
 +
&= (x)'\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x) + x\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x)'\\[5pt]
 +
&= 1\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x) + x\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x)'\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
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<math>\begin{align}
+
Wir leiten den zweiten Term, Term für Term mit der Kettenregel ab
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& \frac{d}{dx}x\left( \sin \ln x+\cos \ln x \right) \\
+
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& =\left( x \right)^{\prime }\centerdot \left( \sin \ln x+\cos \ln x \right)+x\centerdot \left( \sin \ln x+\cos \ln x \right)^{\prime } \\
+
-
& =1\centerdot \left( \sin \ln x+\cos \ln x \right)+x\centerdot \left( \sin \ln x+\cos \ln x \right)^{\prime } \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
(\sin(\ln x) + \cos(\ln x))'
 +
&= (\sin(\ln x))' + (\cos(\ln x))'\\[5pt]
 +
&= \cos(\ln x)\cdot (\ln x)' - \sin(\ln x)\cdot (\ln x)'\\[5pt]
 +
&= \cos(\ln x)\cdot\frac{1}{x} - \sin(\ln x)\cdot\frac{1}{x}\,\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
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We divide up the differentiation of the second term in sections and use the chain rule:
+
Also haben wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\frac{d}{dx}\,\bigl[x(\sin(\ln x) + \cos(\ln x))\bigr]
 +
&= \sin (\ln x) + \cos (\ln x) + \cos (\ln x) - \sin (\ln x)\\[5pt]
 +
&= 2\cos (\ln x)\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
 +
Die zweite Ableitung ist
-
<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
& \left( \sin \ln x+\cos \ln x \right)^{\prime }=\left( \sin \ln x \right)^{\prime }+\left( \cos \ln x \right)^{\prime } \\
+
\frac{d}{dx}\,2\cos(\ln x)
-
& =\cos \ln x\centerdot \left( \ln x \right)^{\prime }-\sin \ln x\centerdot \left( \ln x \right)^{\prime } \\
+
&= -2\sin(\ln x)\cdot (\ln x)'\\[5pt]
-
& =\cos \ln x\centerdot \frac{1}{x}-\sin \ln x\centerdot \frac{1}{x} \\
+
&= -2\sin(\ln x)\cdot \frac{1}{x}\\[5pt]
-
\end{align}</math>
+
&= -\frac{2\sin(\ln x)}{x}\,\textrm{.}
-
 
+
\end{align}</math>}}
-
 
+
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This means that
+
-
 
+
-
 
+
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<math>\begin{align}
+
-
& \frac{d}{dx}x\left( \sin \ln x+\cos \ln x \right) \\
+
-
& =\sin \ln x+\cos \ln x+\cos \ln x-\sin \ln x \\
+
-
& =2\cos \ln x \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
The second derivative is
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& \frac{d}{dx}2\cos \ln x=-2\sin \ln x\centerdot \left( \ln x \right)^{\prime } \\
+
-
& =-2\sin \ln x\centerdot \frac{1}{x}=-\frac{2\sin \ln x}{x} \\
+
-
\end{align}</math>
+

Aktuelle Version

Wir berechnen zuerst die erste Ableitung mit der Faktorregel

\displaystyle \begin{align}

\frac{d}{dx}\,\bigl[x(\sin\ln x + \cos\ln x)\bigr] &= (x)'\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x) + x\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x)'\\[5pt] &= 1\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x) + x\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x)'\,\textrm{.} \end{align}

Wir leiten den zweiten Term, Term für Term mit der Kettenregel ab

\displaystyle \begin{align}

(\sin(\ln x) + \cos(\ln x))' &= (\sin(\ln x))' + (\cos(\ln x))'\\[5pt] &= \cos(\ln x)\cdot (\ln x)' - \sin(\ln x)\cdot (\ln x)'\\[5pt] &= \cos(\ln x)\cdot\frac{1}{x} - \sin(\ln x)\cdot\frac{1}{x}\,\,\textrm{.} \end{align}

Also haben wir

\displaystyle \begin{align}

\frac{d}{dx}\,\bigl[x(\sin(\ln x) + \cos(\ln x))\bigr] &= \sin (\ln x) + \cos (\ln x) + \cos (\ln x) - \sin (\ln x)\\[5pt] &= 2\cos (\ln x)\,\textrm{.} \end{align}

Die zweite Ableitung ist

\displaystyle \begin{align}

\frac{d}{dx}\,2\cos(\ln x) &= -2\sin(\ln x)\cdot (\ln x)'\\[5pt] &= -2\sin(\ln x)\cdot \frac{1}{x}\\[5pt] &= -\frac{2\sin(\ln x)}{x}\,\textrm{.} \end{align}

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