Lösung 1.2:4b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Wir berechnen zuerst die erste Ableitung mit der Faktorregel
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&= 1\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x) + x\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x)'\,\textrm{.}
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Wir leiten den zweiten Term, Term für Term mit der Kettenregel ab
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&= \cos(\ln x)\cdot\frac{1}{x} - \sin(\ln x)\cdot\frac{1}{x}\,\,\textrm{.}
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Also haben wir
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&= \sin (\ln x) + \cos (\ln x) + \cos (\ln x) - \sin (\ln x)\\[5pt]
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&= 2\cos (\ln x)\,\textrm{.}
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Die zweite Ableitung ist
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\frac{d}{dx}\,2\cos(\ln x)
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&= -2\sin(\ln x)\cdot (\ln x)'\\[5pt]
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&= -2\sin(\ln x)\cdot \frac{1}{x}\\[5pt]
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&= -\frac{2\sin(\ln x)}{x}\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Wir berechnen zuerst die erste Ableitung mit der Faktorregel

\displaystyle \begin{align}

\frac{d}{dx}\,\bigl[x(\sin\ln x + \cos\ln x)\bigr] &= (x)'\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x) + x\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x)'\\[5pt] &= 1\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x) + x\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x)'\,\textrm{.} \end{align}

Wir leiten den zweiten Term, Term für Term mit der Kettenregel ab

\displaystyle \begin{align}

(\sin(\ln x) + \cos(\ln x))' &= (\sin(\ln x))' + (\cos(\ln x))'\\[5pt] &= \cos(\ln x)\cdot (\ln x)' - \sin(\ln x)\cdot (\ln x)'\\[5pt] &= \cos(\ln x)\cdot\frac{1}{x} - \sin(\ln x)\cdot\frac{1}{x}\,\,\textrm{.} \end{align}

Also haben wir

\displaystyle \begin{align}

\frac{d}{dx}\,\bigl[x(\sin(\ln x) + \cos(\ln x))\bigr] &= \sin (\ln x) + \cos (\ln x) + \cos (\ln x) - \sin (\ln x)\\[5pt] &= 2\cos (\ln x)\,\textrm{.} \end{align}

Die zweite Ableitung ist

\displaystyle \begin{align}

\frac{d}{dx}\,2\cos(\ln x) &= -2\sin(\ln x)\cdot (\ln x)'\\[5pt] &= -2\sin(\ln x)\cdot \frac{1}{x}\\[5pt] &= -\frac{2\sin(\ln x)}{x}\,\textrm{.} \end{align}

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