3.3:2c alternativ exp
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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| - | <math> | + | Wir stellen <math> -1-i</math> exponential dar: |
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| - | <math>-1-i=r(cos\phi + i sin\phi)=re^{i\phi}</math> wobei r=Betrag und <math>\phi</math>=Argument | + | {{Abgesetzte Formel||<math>-1-i=r(cos\phi + i sin\phi)=re^{i\phi}</math>}} |
| + | wobei r = Betrag und <math>\phi</math> = Argument sind. | ||
| - | <math>r=|-1-i|=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}</math> | + | {{Abgesetzte Formel||<math>r=|-1-i|=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}</math>}} |
| - | <math> | + | Dann klammern wir <math> r = \sqrt{2} </math> aus: |
| - | + | {{Abgesetzte Formel||<math>-1-i=\sqrt{2}(-\, \frac{\sqrt{2}}{2} -\, \frac{\sqrt{2}}{2}i)</math>}} | |
| - | <math> | + | Gesucht werden alle Winkel <math>\phi</math>, für die gilt: |
| - | <math>\phi=\frac{\pi}{4}+\pi+2n\pi=\frac{5\pi}{4}+2n\pi</math> mit <math>n \in </math>'''Z''' | ||
| - | + | {{Abgesetzte Formel||<math>cos\phi=\frac{-\sqrt{2}}{2}</math> und <math>sin\phi=\frac{-\sqrt{2}}{2}</math>}} | |
| - | <math>z=\sqrt[\scriptstyle 5]{\sqrt{2}e^{i(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}}=2^{\frac{1}{2}.\frac{1}{5}}e^{i\frac{1}{5}(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{\pi}{4}+\frac{2}{5}n\pi)}</math> | + | Diese Winkel sind |
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\phi=\frac{\pi}{4}+\pi+2n\pi=\frac{5\pi}{4}+2n\pi</math>}} | ||
| + | mit <math>n \in </math>'''Z'''. | ||
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| + | Also | ||
| + | {{Abgesetzte Formel||<math>z^{5}=-1-i=\sqrt{2}e^{i(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}</math>}} | ||
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| + | Wir ziehen die 5. Wurzel, um <math> z </math> aus <math> z^5 </math> zu erhalten: | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>z=\sqrt[\scriptstyle 5]{\sqrt{2}e^{i(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}}=2^{\frac{1}{2}.\frac{1}{5}}e^{i\frac{1}{5}(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{\pi}{4}+\frac{2}{5}n\pi)}</math>}} | ||
Die Gleichung <math>z^{5}=-1-i</math> hat die Ordnung 5, d.h es gibt 5 verschiedene Lösungen: | Die Gleichung <math>z^{5}=-1-i</math> hat die Ordnung 5, d.h es gibt 5 verschiedene Lösungen: | ||
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5. <math>n=4</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{37\pi}{20} \pi}</math> | 5. <math>n=4</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{37\pi}{20} \pi}</math> | ||
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| + | Die nächste Lösung für <math> n=5 </math> ist wegen der 2-<math>\pi</math> Periodizität identisch mit der 1. Lösung mit <math> n=0 </math>. | ||
Aktuelle Version
Wir stellen \displaystyle -1-i exponential dar:
| \displaystyle -1-i=r(cos\phi + i sin\phi)=re^{i\phi} |
wobei r = Betrag und \displaystyle \phi = Argument sind.
| \displaystyle r=|-1-i|=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2} |
Dann klammern wir \displaystyle r = \sqrt{2} aus:
| \displaystyle -1-i=\sqrt{2}(-\, \frac{\sqrt{2}}{2} -\, \frac{\sqrt{2}}{2}i) |
Gesucht werden alle Winkel \displaystyle \phi, für die gilt:
| \displaystyle cos\phi=\frac{-\sqrt{2}}{2} und \displaystyle sin\phi=\frac{-\sqrt{2}}{2} |
Diese Winkel sind
| \displaystyle \phi=\frac{\pi}{4}+\pi+2n\pi=\frac{5\pi}{4}+2n\pi |
mit \displaystyle n \in Z.
Also
| \displaystyle z^{5}=-1-i=\sqrt{2}e^{i(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)} |
Wir ziehen die 5. Wurzel, um \displaystyle z aus \displaystyle z^5 zu erhalten:
| \displaystyle z=\sqrt[\scriptstyle 5]{\sqrt{2}e^{i(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}}=2^{\frac{1}{2}.\frac{1}{5}}e^{i\frac{1}{5}(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{\pi}{4}+\frac{2}{5}n\pi)} |
Die Gleichung \displaystyle z^{5}=-1-i hat die Ordnung 5, d.h es gibt 5 verschiedene Lösungen:
1. \displaystyle n=0 : \displaystyle z=2^{\frac{1}{10}} \, e^{i \frac{1}{4} \pi} (falls es schlecht zu lesen ist: 2 hoch \displaystyle \frac{1}{10} mal e hoch \displaystyle i \frac{1}{4} \pi )
2. \displaystyle n=1 : \displaystyle z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{13}{20} \pi}
3. \displaystyle n=2 : \displaystyle z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{21}{20} \pi}
4. \displaystyle n=3 : \displaystyle z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{29}{20} \pi}
5. \displaystyle n=4 : \displaystyle z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{37\pi}{20} \pi}
Die nächste Lösung für \displaystyle n=5 ist wegen der 2-\displaystyle \pi Periodizität identisch mit der 1. Lösung mit \displaystyle n=0 .
