3.3:2c alternativ exp

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(Die Seite wurde neu angelegt: <math>z^{5}=-1-i</math> stelle<math> -1-i</math> exponential dar: <math>-1-i=r(cos\phi + i sin\phi)=re^{i\phi}</math> wobei r=Betrag und <math>\phi</math>=Argument <...)
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<math>z^{5}=-1-i</math>
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Wir stellen <math> -1-i</math> exponential dar:
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stelle<math> -1-i</math> exponential dar:
 
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<math>-1-i=r(cos\phi + i sin\phi)=re^{i\phi}</math> wobei r=Betrag und <math>\phi</math>=Argument
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{{Abgesetzte Formel||<math>-1-i=r(cos\phi + i sin\phi)=re^{i\phi}</math>}}
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wobei r = Betrag und <math>\phi</math> = Argument sind.
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<math>r=|-1-i|=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}</math> Dann:
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{{Abgesetzte Formel||<math>r=|-1-i|=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}</math>}}
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<math>-1-i=\sqrt{2}(\frac{-\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)</math>
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Dann klammern wir <math> r = \sqrt{2} </math> aus:
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Gesucht werden alle Winkeln <math>\phi</math>, für die gilt:
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{{Abgesetzte Formel||<math>-1-i=\sqrt{2}(-\, \frac{\sqrt{2}}{2} -\, \frac{\sqrt{2}}{2}i)</math>}}
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<math>cos\phi=\frac{-\sqrt{2}}{2}</math> und <math>sin\phi=\frac{-\sqrt{2}}{2}</math>
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Gesucht werden alle Winkel <math>\phi</math>, für die gilt:
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<math>\phi=\frac{\pi}{4}+\pi+2n\pi=\frac{5\pi}{4}+2n\pi</math> mit <math>n \in </math>'''Z'''
 
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Also <math>z^{5}=-1-i=\sqrt{2}e^{i(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}</math>
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{{Abgesetzte Formel||<math>cos\phi=\frac{-\sqrt{2}}{2}</math> und <math>sin\phi=\frac{-\sqrt{2}}{2}</math>}}
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<math>z=\sqrt[\scriptstyle 5]{\sqrt{2}e^{i(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}}=2^{\frac{1}{2}.\frac{1}{5}}e^{i\frac{1}{5}(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{\pi}{4}+\frac{2}{5}n\pi)}</math>
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Diese Winkel sind
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{{Abgesetzte Formel||<math>\phi=\frac{\pi}{4}+\pi+2n\pi=\frac{5\pi}{4}+2n\pi</math>}}
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mit <math>n \in </math>'''Z'''.
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Also
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{{Abgesetzte Formel||<math>z^{5}=-1-i=\sqrt{2}e^{i(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}</math>}}
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Wir ziehen die 5. Wurzel, um <math> z </math> aus <math> z^5 </math> zu erhalten:
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{{Abgesetzte Formel||<math>z=\sqrt[\scriptstyle 5]{\sqrt{2}e^{i(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}}=2^{\frac{1}{2}.\frac{1}{5}}e^{i\frac{1}{5}(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{\pi}{4}+\frac{2}{5}n\pi)}</math>}}
Die Gleichung <math>z^{5}=-1-i</math> hat die Ordnung 5, d.h es gibt 5 verschiedene Lösungen:
Die Gleichung <math>z^{5}=-1-i</math> hat die Ordnung 5, d.h es gibt 5 verschiedene Lösungen:
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1. <math>n=0</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{\pi}{4})}</math>
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1. <math>n=0</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}} \, e^{i \frac{1}{4} \pi}</math> (falls es schlecht zu lesen ist: 2 hoch <math> \frac{1}{10} </math> mal e hoch <math> i \frac{1}{4} \pi </math>)
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2. <math>n=1</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{13}{20} \pi}</math>
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2. <math>n=1</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{13\pi}{20})}</math>
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3. <math>n=2</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{21}{20} \pi}</math>
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3. <math>n=2</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{21\pi}{20})}</math>
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4. <math>n=3</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{29}{20} \pi}</math>
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4. <math>n=3</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{29\pi}{20})}</math>
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5. <math>n=4</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{37\pi}{20} \pi}</math>
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5. <math>n=4</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{37\pi}{20})}</math>
+
Die nächste Lösung für <math> n=5 </math> ist wegen der 2-<math>\pi</math> Periodizität identisch mit der 1. Lösung mit <math> n=0 </math>.

Aktuelle Version

Wir stellen \displaystyle -1-i exponential dar:


\displaystyle -1-i=r(cos\phi + i sin\phi)=re^{i\phi}

wobei r = Betrag und \displaystyle \phi = Argument sind.

\displaystyle r=|-1-i|=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}

Dann klammern wir \displaystyle r = \sqrt{2} aus:

\displaystyle -1-i=\sqrt{2}(-\, \frac{\sqrt{2}}{2} -\, \frac{\sqrt{2}}{2}i)

Gesucht werden alle Winkel \displaystyle \phi, für die gilt:


\displaystyle cos\phi=\frac{-\sqrt{2}}{2} und \displaystyle sin\phi=\frac{-\sqrt{2}}{2}

Diese Winkel sind

\displaystyle \phi=\frac{\pi}{4}+\pi+2n\pi=\frac{5\pi}{4}+2n\pi

mit \displaystyle n \in Z.

Also

\displaystyle z^{5}=-1-i=\sqrt{2}e^{i(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}

Wir ziehen die 5. Wurzel, um \displaystyle z aus \displaystyle z^5 zu erhalten:


\displaystyle z=\sqrt[\scriptstyle 5]{\sqrt{2}e^{i(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}}=2^{\frac{1}{2}.\frac{1}{5}}e^{i\frac{1}{5}(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{\pi}{4}+\frac{2}{5}n\pi)}

Die Gleichung \displaystyle z^{5}=-1-i hat die Ordnung 5, d.h es gibt 5 verschiedene Lösungen:

1. \displaystyle n=0 : \displaystyle z=2^{\frac{1}{10}} \, e^{i \frac{1}{4} \pi} (falls es schlecht zu lesen ist: 2 hoch \displaystyle \frac{1}{10} mal e hoch \displaystyle i \frac{1}{4} \pi )

2. \displaystyle n=1 : \displaystyle z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{13}{20} \pi}

3. \displaystyle n=2 : \displaystyle z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{21}{20} \pi}

4. \displaystyle n=3 : \displaystyle z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{29}{20} \pi}

5. \displaystyle n=4 : \displaystyle z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{37\pi}{20} \pi}

Die nächste Lösung für \displaystyle n=5 ist wegen der 2-\displaystyle \pi Periodizität identisch mit der 1. Lösung mit \displaystyle n=0 .

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