2.2:3b alternativ trig

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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(Die Seite wurde neu angelegt: Nach Kapitel 4 gilt: <math> 2sin(x)cos(x) = sin(2x) </math> . und <math>sin^{2}(x)=\frac{1-cos(2x)}{2}</math> d.h. <math>cos(2x)=-2sin^{2}(x)+1</math> Also: <math>\b...)
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Nach Kapitel 4 gilt: <math> 2sin(x)cos(x) = sin(2x) </math> .
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Im 1 Teil des Kurses in Kapitel 4.3-D hatten wir die trigonometrische Formel:
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und <math>sin^{2}(x)=\frac{1-cos(2x)}{2}</math> d.h. <math>cos(2x)=-2sin^{2}(x)+1</math>
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{{Abgesetzte Formel||<math> 2sin(x)cos(x) = sin(2x). </math>}}
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Also:
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Damit kann man das Integral vereinfachen und ausrechnen:
<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
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&= \frac{1}{2} \int \ sin(2x)\,dx\\
&= \frac{1}{2} \int \ sin(2x)\,dx\\
&= \frac{1}{2}(-cos(2x)) \frac{1}{2} + C\\
&= \frac{1}{2}(-cos(2x)) \frac{1}{2} + C\\
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&= \frac{-1}{4}cos(2x) + C\\
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&= \frac{-1}{4}cos(2x) + C
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&= \frac{-1}{4}(-2sin^{2}(x)+1)+C\\
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&= \frac{1}{2}sin^{2}(x)-\frac{1}{4} +C\\
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&= \frac{1}{2}sin^{2}(x)+C\\
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\end{align}</math>
\end{align}</math>
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Diese Lösung unterscheidet sich von der zuvor gefundene Lösung nur durch eine Konstante: Ebenfalls in 4.3-D hatten wir die Formel
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{{Abgesetzte Formel||<math>sin^{2}(x)=\frac{1-cos(2x)}{2}</math> d.h. <math>cos(2x)=-2sin^{2}(x)+1</math>.}}
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Damit gilt
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<math>
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\frac{-1}{4}cos(2x)
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\,=\, \frac{-1}{4}(-2sin^{2}(x)+1)
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\,=\, \frac{1}{2}sin^{2}(x)-\frac{1}{4}.
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</math>

Aktuelle Version

Im 1 Teil des Kurses in Kapitel 4.3-D hatten wir die trigonometrische Formel:

\displaystyle 2sin(x)cos(x) = sin(2x).

Damit kann man das Integral vereinfachen und ausrechnen:

\displaystyle \begin{align} \int \sin x\cos x\,dx &= \frac{1}{2} \int \ 2sin x\cos x\,dx\\ &= \frac{1}{2} \int \ sin(2x)\,dx\\ &= \frac{1}{2}(-cos(2x)) \frac{1}{2} + C\\ &= \frac{-1}{4}cos(2x) + C \end{align}

Diese Lösung unterscheidet sich von der zuvor gefundene Lösung nur durch eine Konstante: Ebenfalls in 4.3-D hatten wir die Formel

\displaystyle sin^{2}(x)=\frac{1-cos(2x)}{2} d.h. \displaystyle cos(2x)=-2sin^{2}(x)+1.

Damit gilt

\displaystyle \frac{-1}{4}cos(2x) \,=\, \frac{-1}{4}(-2sin^{2}(x)+1) \,=\, \frac{1}{2}sin^{2}(x)-\frac{1}{4}.

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