1.1:2a alternativ 1

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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<math>f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math> wobei <math>f(x)=x^2-3x+1</math>
<math>f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math> wobei <math>f(x)=x^2-3x+1</math>
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<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
f'(x)&=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^{2}-3(x+h)+1-(x^{2}-3x+1)}{h}\\
f'(x)&=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^{2}-3(x+h)+1-(x^{2}-3x+1)}{h}\\
&=\lim_{h \to 0}\frac{x^{2}+2hx+h^{2}-3x-3h+1-x^{2}+3x+1}{h}\\
&=\lim_{h \to 0}\frac{x^{2}+2hx+h^{2}-3x-3h+1-x^{2}+3x+1}{h}\\
&=\lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^{2}-3h}{h}\\
&=\lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^{2}-3h}{h}\\
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&=\lim_{h \to 0}\frac{h(2x+h-3)}{h}\\
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&=\lim_{h \to 0}\frac{h(2x+h-3)}{h}
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&=\lim_{h \to 0}2x+h-3\\
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\end{align} </math>
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Jetzt kürzen wir <math> h </math>. Danach benutzen wir, dass der Limes (=Grenzwert) für <math> 2x -3 </math> keine Bedeutung hat, weil dort gar kein <math> h </math> vorkommt.
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<math>\begin{align}
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... &=\lim_{h \to 0}2x+h-3\\
&=2x-3+\lim_{h \to 0}h\\
&=2x-3+\lim_{h \to 0}h\\
&=2x-3\end{align}</math>
&=2x-3\end{align}</math>
-
(2x-3 ist von h und dem Limes unabhängig und <math> \lim_{h \to 0}h =0</math>)
+
Am Ende haben wir benutzt, dass <math> \lim_{h \to 0}h =0</math> ist.

Aktuelle Version

Wir benutzen die Definiton der Ableitung im Theorie-Teil dieses Kurses im Abschnitt 1.1 B :

\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} wobei \displaystyle f(x)=x^2-3x+1

\displaystyle \begin{align} f'(x)&=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^{2}-3(x+h)+1-(x^{2}-3x+1)}{h}\\ &=\lim_{h \to 0}\frac{x^{2}+2hx+h^{2}-3x-3h+1-x^{2}+3x+1}{h}\\ &=\lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^{2}-3h}{h}\\ &=\lim_{h \to 0}\frac{h(2x+h-3)}{h} \end{align}

Jetzt kürzen wir \displaystyle h . Danach benutzen wir, dass der Limes (=Grenzwert) für \displaystyle 2x -3 keine Bedeutung hat, weil dort gar kein \displaystyle h vorkommt.

\displaystyle \begin{align} ... &=\lim_{h \to 0}2x+h-3\\ &=2x-3+\lim_{h \to 0}h\\ &=2x-3\end{align}

Am Ende haben wir benutzt, dass \displaystyle \lim_{h \to 0}h =0 ist.

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