Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wir benutzen die Definiton der Ableitung im Theorie-Teil dieses Kurses im Abschnitt 1.1 B :

\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} wobei \displaystyle f(x)=x^2-3x+1

\displaystyle \begin{align} f'(x)&=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^{2}-3(x+h)+1-(x^{2}-3x+1)}{h}\\ &=\lim_{h \to 0}\frac{x^{2}+2hx+h^{2}-3x-3h+1-x^{2}+3x+1}{h}\\ &=\lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^{2}-3h}{h}\\ &=\lim_{h \to 0}\frac{h(2x+h-3)}{h} \end{align}

Jetzt kürzen wir \displaystyle h . Danach benutzen wir, dass der Limes (=Grenzwert) für \displaystyle 2x -3 keine Bedeutung hat, weil dort gar kein \displaystyle h vorkommt.

\displaystyle \begin{align} ... &=\lim_{h \to 0}2x+h-3\\ &=2x-3+\lim_{h \to 0}h\\ &=2x-3\end{align}

Am Ende haben wir benutzt, dass \displaystyle \lim_{h \to 0}h =0 ist.