Lösung 1.1:5

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-
Suppose that the tangent touches the curve at the point
+
Wir nehmen an, dass die Tangente(n) die Kurve im Punkt <math>(x_0,y_0)</math> berührt. Dieser Punkt liegt natürlich auf der Kurve, erfüllt also
-
<math>\left( x_{0} \right.,\left. y_{0} \right)</math>. That point must, first and foremost, lie on the curve and therefore satisfy the equation of the curve, i.e.
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -x_0^2\,\textrm{.}</math>|(1)}}
-
<math>y_{0}=-x_{0}^{2}\quad \quad \quad \left( 1 \right)</math>
+
Schreiben wir die Tangente als <math>y=kx+m</math>, ist die Steigung ''k'' dasselbe wie die Ableitung <math>y^{\,\prime} = -2x</math> an der Stelle <math>x=x_0</math>.
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>k = -2x_0\,\textrm{}</math>|(2)}}
-
If we now write the equation of the tangent as
+
Die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt <math>(x_0,y_0)</math> geht, gibt
-
<math>y=kx+m</math>, the gradient of the tangent,
+
-
<math>k</math>, is given by the value of the curve's derivative,
+
-
<math>{y}'=-2x</math>, at
+
-
<math>x=x_{0}</math>,
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>y_{0} = k\cdot x_0 + m\,\textrm{.}</math>|(3)}}
-
<math>k=-2x_{0}\quad \quad \quad \left( 2 \right)</math>
+
Die Bedingung dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht, gibt
-
The condition that the tangent goes through the point
+
{{Abgesetzte Formel||<math>1 = k\cdot 1 + m\,\textrm{.}</math>|(4)}}
-
<math>\left( x_{0} \right.,\left. y_{0} \right)</math>
+
-
gives us that
+
 +
Die Gleichungen (1)-(4) sind ein System von Gleichungen mit den unbekannten <math>x_0</math>, <math>y_{0}</math>, <math>k</math> und <math>m</math>.
-
<math>y_{0}=k\centerdot x_{0}+m\quad \quad \quad \left( 3 \right)</math>
+
Da wir <math>x_0</math> und <math>y_0</math> suchen, eliminieren wir zuerst ''k'' und ''m''.
 +
Aus der Gleichung (2) folgt, dass <math>k = -2 x_0</math>. Das in Gleichung (4) eingesetzt, liefert
-
In addition to this, the tangent should also pass through the point
+
{{Abgesetzte Formel||<math>1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>\left( 1 \right.,\left. 1 \right)</math>,
+
 +
Jetzt haben wir ''k'' und ''m'' in Termen von <math>x_0</math> und <math>y_0</math> ausgedrückt und Gleichung (3) hat nun nur <math>x_0</math>-
 +
und <math>y_0</math>-Terme.
-
<math>1=k\centerdot 1+m\quad \quad \quad \left( 4 \right)</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{}</math>|(3')}}
 +
Diese Gleichung und die Gleichung (1) bilden ein Gleichungssystem für <math>x_0</math> und <math>y_0</math>.
-
Equations (1)-(4) constitute an equation system in the unknowns
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
-
<math>x_{0},\ y_{0},\ k</math>
+
y_{0} &= -x_0^{2}\,,\\[5pt]
-
and
+
y_{0} &= -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{}
-
<math>m</math>.
+
\end{align}\right.</math>}}
-
Because we are looking for
 
-
<math>x_{0}\text{ }</math>
 
-
and
 
-
<math>y_{0}</math>, the first step is to try and eliminate
 
-
<math>k</math>
 
-
and
 
-
<math>m</math>
 
-
from the equations.
 
-
Equation (2) gives that
+
Substituieren wir (1) von (3), erhalten wir eine Gleichung mit nur <math>x_0</math>.
-
<math>k=-\text{2 }x_{0}</math>
+
-
and substituting this into equation (4) gives
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>-x_0^2 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,,</math>}}
-
<math>1=-2x_{0}+m\quad \Leftrightarrow \quad m=2x_{0}+1</math>
+
also
-
With
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x_0^2 - 2x_0 - 1 = 0\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>k</math>
+
-
and
+
-
<math>m</math>
+
-
expressed in terms of
+
-
<math>x_{0}</math>
+
-
and
+
-
<math>y_{0}</math>, (3) becomes an equation that is expressed completely in terms of
+
-
<math>x_{0}</math>
+
-
and
+
-
<math>y_{0}</math>,
+
 +
Diese Quadratische Gleichung hat die Lösungen
-
<math>y_{0}=-2x_{0}^{2}+2x_{0}+1\quad \quad \quad \left( 3' \right)</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x_0 = 1-\sqrt{2}\qquad\text{und}\qquad x_0 = 1+\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}
 +
Durch die Gleichung (1) erhalten wir den entsprechenden ''y''-Wert
-
This equation, together with (1), is an equation system in
+
{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -3+2\sqrt{2}\qquad\text{und}\qquad y_0 = -3-2\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>x_{0}</math>
+
-
and
+
-
<math>y_{0}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
y_{0}=-x_{0}^{2} \\
+
-
y_{0}=-2x_{0}^{2}+2x_{0}+1 \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
Substituting equation (1) into (3') gives us an equation in x0,
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>-x_{0}^{2}=-2x_{0}^{2}+2x_{0}+1</math>
+
-
 
+
-
i.e.
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>x_{0}^{2}-2x_{0}-1=0</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
This second-degree equation has solutions
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>x_{0}=1-\sqrt{2}</math>
+
-
and
+
-
<math>x_{0}=1+\sqrt{2}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
Equation (1) gives the corresponding y-values:
+
-
 
+
-
+
-
<math>y_{0}=-3+2\sqrt{2}</math>
+
-
and
+
-
<math>y_{0}=-3-2\sqrt{2}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
Thus, the answers are the points
+
-
<math>\left( 1-\sqrt{2} \right.,\left. -3+2\sqrt{2} \right)</math>
+
-
and
+
-
<math>\left( 1+\sqrt{2} \right.,\left. -3-2\sqrt{2} \right)</math>.
+
 +
Also erhalten wir die Punkte <math>(1-\sqrt{2},-3+2\sqrt{2})</math> und
 +
<math>(1+\sqrt{2},-3-2\sqrt{2})\,</math>.
[[Image:1_1_5_3.gif|center]]
[[Image:1_1_5_3.gif|center]]

Aktuelle Version

Wir nehmen an, dass die Tangente(n) die Kurve im Punkt \displaystyle (x_0,y_0) berührt. Dieser Punkt liegt natürlich auf der Kurve, erfüllt also

\displaystyle y_0 = -x_0^2\,\textrm{.} (1)

Schreiben wir die Tangente als \displaystyle y=kx+m, ist die Steigung k dasselbe wie die Ableitung \displaystyle y^{\,\prime} = -2x an der Stelle \displaystyle x=x_0.

\displaystyle k = -2x_0\,\textrm{} (2)

Die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt \displaystyle (x_0,y_0) geht, gibt

\displaystyle y_{0} = k\cdot x_0 + m\,\textrm{.} (3)

Die Bedingung dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht, gibt

\displaystyle 1 = k\cdot 1 + m\,\textrm{.} (4)

Die Gleichungen (1)-(4) sind ein System von Gleichungen mit den unbekannten \displaystyle x_0, \displaystyle y_{0}, \displaystyle k und \displaystyle m.

Da wir \displaystyle x_0 und \displaystyle y_0 suchen, eliminieren wir zuerst k und m.

Aus der Gleichung (2) folgt, dass \displaystyle k = -2 x_0. Das in Gleichung (4) eingesetzt, liefert

\displaystyle 1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.}

Jetzt haben wir k und m in Termen von \displaystyle x_0 und \displaystyle y_0 ausgedrückt und Gleichung (3) hat nun nur \displaystyle x_0- und \displaystyle y_0-Terme.

\displaystyle y_0 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{} (3')

Diese Gleichung und die Gleichung (1) bilden ein Gleichungssystem für \displaystyle x_0 und \displaystyle y_0.

\displaystyle \left\{\begin{align}

y_{0} &= -x_0^{2}\,,\\[5pt] y_{0} &= -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{} \end{align}\right.


Substituieren wir (1) von (3), erhalten wir eine Gleichung mit nur \displaystyle x_0.

\displaystyle -x_0^2 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,,

also

\displaystyle x_0^2 - 2x_0 - 1 = 0\,\textrm{.}

Diese Quadratische Gleichung hat die Lösungen

\displaystyle x_0 = 1-\sqrt{2}\qquad\text{und}\qquad x_0 = 1+\sqrt{2}\,\textrm{.}

Durch die Gleichung (1) erhalten wir den entsprechenden y-Wert

\displaystyle y_0 = -3+2\sqrt{2}\qquad\text{und}\qquad y_0 = -3-2\sqrt{2}\,\textrm{.}

Also erhalten wir die Punkte \displaystyle (1-\sqrt{2},-3+2\sqrt{2}) und \displaystyle (1+\sqrt{2},-3-2\sqrt{2})\,.

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