Lösung 3.4:6
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>(ia)^4 + 3(ia)^3 + (ia)^2 + 18(ia) - 30 = 0\,,</math>}} | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>a^4 - 3a^3i - a^2 + 18ai - 30 = 0</math>}} | ||
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| + | Separieren wir den Real- und Imaginärteil, erhalten wir | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>(a^4-a^2-30) + a(-3a^2+18)i = 0\,\textrm{,}</math>}} | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} | ||
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| + | a(-3a^2+18) &= 0\,\textrm{.} | ||
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| + | Die zweite Gleichung ergibt <math>a=0</math> oder <math>a=\pm\sqrt{6}</math>, aber nur <math>a=\pm\sqrt{6}</math> erfüllt auch die erste Gleichung. | ||
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| + | Daher hat die Gleichung <math>z^4+3z^3+z^2+18z-30=0</math> die zwei rein imaginären Wurzeln <math>z=-i\sqrt{6}</math> und <math>z=i\sqrt{6}</math>. Dies war zu erwarten, da das Polynom reelle Koeffizienten hat und komplexe Wurzeln treten daher in konjugiert komplexen Paaren auf. | ||
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| + | Da die Gleichung die zwei Wurzeln <math>z = \pm i\sqrt{6}</math> hat, enthält das Polynom den Faktor | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>z^4+3z^3+z^2+18z-30 = (z^2+Az+B)(z^2+6)\,,</math>}} | ||
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| + | wobei die anderen zwei Wurzeln der Gleichung die Nullstellen von <math>z^{2}+Az+B</math> sind. | ||
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| + | Wir bestimmen den Faktor <math>z^2+Az+B</math> durch Polynomdivision | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| + | z^2+Az+B | ||
| + | &= \frac{z^4+3z^3+z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt] | ||
| + | &= \frac{z^4+6z^2-6z^2+3z^3+z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt] | ||
| + | &= \frac{z^2(z^2+6)+3z^3-5z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt] | ||
| + | &= z^2 + \frac{3z^3-5z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt] | ||
| + | &= z^2 + \frac{3z^3+18z-18z-5z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt] | ||
| + | &= z^2 + \frac{3z(z^2+6)-5z^2-30}{z^2+6}\\[5pt] | ||
| + | &= z^2 + 3z + \frac{-5z^2-30}{z^2+6}\\[5pt] | ||
| + | &= z^2 + 3z + \frac{-5(z^2+6)}{z^2+6}\\[5pt] | ||
| + | &= z^2 + 3z - 5\,\textrm{.} | ||
| + | \end{align}</math>}} | ||
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| + | Also müssen wir die Gleichung | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>z^2+3z-5 = 0 </math>}} | ||
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| + | lösen, um die restlichen Wurzeln zu erhalten. Wir verwenden quadratische Ergänzung | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| + | \Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - 5 &= 0\,,\\[5pt] | ||
| + | \Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 &= \frac{29}{4}\,. | ||
| + | \end{align}</math>}} | ||
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| + | Dies ergibt also <math>z=-\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{29}}{2}</math>. | ||
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| + | Die Gleichung hat also die Lösungen | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>z=-i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}\,\textrm{.}</math>}} | ||
Aktuelle Version
Zuerst bestimmen wir die rein imaginäre Wurzel.
Eine rein imaginäre Wurzel können wir wie \displaystyle z=ia schreiben, wobei \displaystyle a eine reelle Konstante ist. Substituieren wir \displaystyle z=ia im Polynom, erhalten wir
| \displaystyle (ia)^4 + 3(ia)^3 + (ia)^2 + 18(ia) - 30 = 0\,, |
also
| \displaystyle a^4 - 3a^3i - a^2 + 18ai - 30 = 0 |
Separieren wir den Real- und Imaginärteil, erhalten wir
| \displaystyle (a^4-a^2-30) + a(-3a^2+18)i = 0\,\textrm{,} |
also
| \displaystyle \left\{\begin{align}
a^4-a^2-30 &= 0\,,\\[5pt] a(-3a^2+18) &= 0\,\textrm{.} \end{align}\right. |
Die zweite Gleichung ergibt \displaystyle a=0 oder \displaystyle a=\pm\sqrt{6}, aber nur \displaystyle a=\pm\sqrt{6} erfüllt auch die erste Gleichung.
Daher hat die Gleichung \displaystyle z^4+3z^3+z^2+18z-30=0 die zwei rein imaginären Wurzeln \displaystyle z=-i\sqrt{6} und \displaystyle z=i\sqrt{6}. Dies war zu erwarten, da das Polynom reelle Koeffizienten hat und komplexe Wurzeln treten daher in konjugiert komplexen Paaren auf.
Da die Gleichung die zwei Wurzeln \displaystyle z = \pm i\sqrt{6} hat, enthält das Polynom den Faktor
| \displaystyle (z-i\sqrt{6})(z+i\sqrt{6}) = z^2+6 |
und daher ist
| \displaystyle z^4+3z^3+z^2+18z-30 = (z^2+Az+B)(z^2+6)\,, |
wobei die anderen zwei Wurzeln der Gleichung die Nullstellen von \displaystyle z^{2}+Az+B sind.
Wir bestimmen den Faktor \displaystyle z^2+Az+B durch Polynomdivision
| \displaystyle \begin{align}
z^2+Az+B &= \frac{z^4+3z^3+z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt] &= \frac{z^4+6z^2-6z^2+3z^3+z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt] &= \frac{z^2(z^2+6)+3z^3-5z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt] &= z^2 + \frac{3z^3-5z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt] &= z^2 + \frac{3z^3+18z-18z-5z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt] &= z^2 + \frac{3z(z^2+6)-5z^2-30}{z^2+6}\\[5pt] &= z^2 + 3z + \frac{-5z^2-30}{z^2+6}\\[5pt] &= z^2 + 3z + \frac{-5(z^2+6)}{z^2+6}\\[5pt] &= z^2 + 3z - 5\,\textrm{.} \end{align} |
Also müssen wir die Gleichung
| \displaystyle z^2+3z-5 = 0 |
lösen, um die restlichen Wurzeln zu erhalten. Wir verwenden quadratische Ergänzung
| \displaystyle \begin{align}
\Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - 5 &= 0\,,\\[5pt] \Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 &= \frac{29}{4}\,. \end{align} |
Dies ergibt also \displaystyle z=-\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{29}}{2}.
Die Gleichung hat also die Lösungen
| \displaystyle z=-i\sqrt{6}, \displaystyle \quad z=i\sqrt{6}, \displaystyle \quad z=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2}, \displaystyle \quad z=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}\,\textrm{.} |
