Lösung 3.4:6

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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First, we try to determine the pure imaginary root.
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Zuerst bestimmen wir die rein imaginäre Wurzel.
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We can write the imaginary root as <math>z=ia</math>, where <math>a</math> is a real number. If we substitute in <math>z=ia</math>, the equation should then be satisfied,
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Eine rein imaginäre Wurzel können wir wie <math>z=ia</math> schreiben, wobei <math>a</math> eine reelle Konstante ist. Substituieren wir <math>z=ia</math> im Polynom, erhalten wir
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{{Displayed math||<math>(ia)^4 + 3(ia)^3 + (ia)^2 + 18(ia) - 30 = 0\,,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(ia)^4 + 3(ia)^3 + (ia)^2 + 18(ia) - 30 = 0\,,</math>}}
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i.e.
+
also
-
{{Displayed math||<math>a^4 - 3a^3i - a^2 + 18ai - 30 = 0</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>a^4 - 3a^3i - a^2 + 18ai - 30 = 0</math>}}
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and, if collect together the real and imaginary parts on the left-hand side, we have
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Separieren wir den Real- und Imaginärteil, erhalten wir
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{{Displayed math||<math>(a^4-a^2-30) + a(-3a^2+18)i = 0\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(a^4-a^2-30) + a(-3a^2+18)i = 0\,\textrm{,}</math>}}
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If both sides are to be equal, the left-hand side's real and imaginary parts must be zero,
+
also
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{{Displayed math||<math>\left\{\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
a^4-a^2-30 &= 0\,,\\[5pt]
a^4-a^2-30 &= 0\,,\\[5pt]
a(-3a^2+18) &= 0\,\textrm{.}
a(-3a^2+18) &= 0\,\textrm{.}
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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The other relation gives <math>a=0</math> or <math>a=\pm\sqrt{6}</math>, but it is only <math>a=\pm\sqrt{6}</math> which satisfies the first relation.
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Die zweite Gleichung ergibt <math>a=0</math> oder <math>a=\pm\sqrt{6}</math>, aber nur <math>a=\pm\sqrt{6}</math> erfüllt auch die erste Gleichung.
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Thus, the equation <math>z^4+3z^3+z^2+18z-30=0</math> has two pure imaginary roots, <math>z=-i\sqrt{6}</math> and <math>z=i\sqrt{6}</math>. Note that it is completely normal to obtain two imaginary roots. The polynomial equation has real coefficients and must therefore have complex conjugate roots.
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Daher hat die Gleichung <math>z^4+3z^3+z^2+18z-30=0</math> die zwei rein imaginären Wurzeln <math>z=-i\sqrt{6}</math> und <math>z=i\sqrt{6}</math>. Dies war zu erwarten, da das Polynom reelle Koeffizienten hat und komplexe Wurzeln treten daher in konjugiert komplexen Paaren auf.
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Now we tackle the problem of determining the equation's other two roots. Because we know that the equation has the two roots <math>z = \pm i\sqrt{6}</math>, the factor theorem gives that the equation contains the factor
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Da die Gleichung die zwei Wurzeln <math>z = \pm i\sqrt{6}</math> hat, enthält das Polynom den Faktor
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{{Displayed math||<math>(z-i\sqrt{6})(z+i\sqrt{6}) = z^2+6\,,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(z-i\sqrt{6})(z+i\sqrt{6}) = z^2+6 </math>}}
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i.e. we can factorize the left-hand side of the equation in the following way,
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und daher ist
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{{Displayed math||<math>z^4+3z^3+z^2+18z-30 = (z^2+Az+B)(z^2+6)\,,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z^4+3z^3+z^2+18z-30 = (z^2+Az+B)(z^2+6)\,,</math>}}
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where the equation's two other roots are zeros of the unknown factor <math>z^{2}+Az+B</math>.
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wobei die anderen zwei Wurzeln der Gleichung die Nullstellen von <math>z^{2}+Az+B</math> sind.
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We determine the factor <math>z^2+Az+B</math> by means of a polynomial division (divide both sides by <math>z^2+6</math>),
+
Wir bestimmen den Faktor <math>z^2+Az+B</math> durch Polynomdivision
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
z^2+Az+B
z^2+Az+B
&= \frac{z^4+3z^3+z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt]
&= \frac{z^4+3z^3+z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt]
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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To obtain the two remaining roots, we need therefore to solve the equation
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Also müssen wir die Gleichung
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{{Displayed math||<math>z^2+3z-5 = 0\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z^2+3z-5 = 0 </math>}}
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We complete the square
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lösen, um die restlichen Wurzeln zu erhalten. Wir verwenden quadratische Ergänzung
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - 5 &= 0\,,\\[5pt]
\Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - 5 &= 0\,,\\[5pt]
-
\Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 &= \frac{29}{4}\,,
+
\Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 &= \frac{29}{4}\,.
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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which gives that <math>z=-\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{29}}{2}</math>.
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Dies ergibt also <math>z=-\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{29}}{2}</math>.
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The answer is that the equation has the roots
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Die Gleichung hat also die Lösungen
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{{Displayed math||<math>z=-i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z=-i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Zuerst bestimmen wir die rein imaginäre Wurzel.

Eine rein imaginäre Wurzel können wir wie \displaystyle z=ia schreiben, wobei \displaystyle a eine reelle Konstante ist. Substituieren wir \displaystyle z=ia im Polynom, erhalten wir

\displaystyle (ia)^4 + 3(ia)^3 + (ia)^2 + 18(ia) - 30 = 0\,,

also

\displaystyle a^4 - 3a^3i - a^2 + 18ai - 30 = 0

Separieren wir den Real- und Imaginärteil, erhalten wir

\displaystyle (a^4-a^2-30) + a(-3a^2+18)i = 0\,\textrm{,}

also

\displaystyle \left\{\begin{align}

a^4-a^2-30 &= 0\,,\\[5pt] a(-3a^2+18) &= 0\,\textrm{.} \end{align}\right.

Die zweite Gleichung ergibt \displaystyle a=0 oder \displaystyle a=\pm\sqrt{6}, aber nur \displaystyle a=\pm\sqrt{6} erfüllt auch die erste Gleichung.

Daher hat die Gleichung \displaystyle z^4+3z^3+z^2+18z-30=0 die zwei rein imaginären Wurzeln \displaystyle z=-i\sqrt{6} und \displaystyle z=i\sqrt{6}. Dies war zu erwarten, da das Polynom reelle Koeffizienten hat und komplexe Wurzeln treten daher in konjugiert komplexen Paaren auf.

Da die Gleichung die zwei Wurzeln \displaystyle z = \pm i\sqrt{6} hat, enthält das Polynom den Faktor

\displaystyle (z-i\sqrt{6})(z+i\sqrt{6}) = z^2+6

und daher ist

\displaystyle z^4+3z^3+z^2+18z-30 = (z^2+Az+B)(z^2+6)\,,

wobei die anderen zwei Wurzeln der Gleichung die Nullstellen von \displaystyle z^{2}+Az+B sind.

Wir bestimmen den Faktor \displaystyle z^2+Az+B durch Polynomdivision

\displaystyle \begin{align}

z^2+Az+B &= \frac{z^4+3z^3+z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt] &= \frac{z^4+6z^2-6z^2+3z^3+z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt] &= \frac{z^2(z^2+6)+3z^3-5z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt] &= z^2 + \frac{3z^3-5z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt] &= z^2 + \frac{3z^3+18z-18z-5z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt] &= z^2 + \frac{3z(z^2+6)-5z^2-30}{z^2+6}\\[5pt] &= z^2 + 3z + \frac{-5z^2-30}{z^2+6}\\[5pt] &= z^2 + 3z + \frac{-5(z^2+6)}{z^2+6}\\[5pt] &= z^2 + 3z - 5\,\textrm{.} \end{align}

Also müssen wir die Gleichung

\displaystyle z^2+3z-5 = 0

lösen, um die restlichen Wurzeln zu erhalten. Wir verwenden quadratische Ergänzung

\displaystyle \begin{align}

\Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - 5 &= 0\,,\\[5pt] \Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 &= \frac{29}{4}\,. \end{align}

Dies ergibt also \displaystyle z=-\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{29}}{2}.

Die Gleichung hat also die Lösungen

\displaystyle z=-i\sqrt{6}, \displaystyle \quad z=i\sqrt{6}, \displaystyle \quad z=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2}, \displaystyle \quad z=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}\,\textrm{.}
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