Lösung 3.4:1d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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We start by adding and taking away
+
Wir beginnen damit, <math>x^2</math> zu addieren und subtrahieren, sodass wir <math>x^3+x^2 = x^2(x+1)</math> im Zähler erhalten
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<math>x^{2}</math>
+
-
in the numerator, so that, in combination with
+
-
<math>x^{3}</math>, we obtain the expression
+
-
<math>x^{3}+x^{2}=x^{2}\left( x+1 \right)</math>
+
-
which can be simplified with the denominator
+
-
<math>x+1</math>,
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\frac{x^3+x+2}{x+1}
 +
&= \frac{x^3+x^2-x^2+x+2}{x+1}\\[5pt]
 +
&= \frac{x^3+x^2}{x+1} + \frac{-x^2+x+2}{x+1}\\[5pt]
 +
&= \frac{x^2(x+1)}{x+1} + \frac{-x^2+x+2}{x+1}\\[5pt]
 +
&= x^2 + \frac{-x^2+x+2}{x+1}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Danach addieren und subtrahieren wir
-
& \frac{x^{3}+x+2}{x+1}=\frac{x^{3}+x^{2}-x^{2}+x+2}{x+1} \\
+
<math>-x</math>, sodass wir <math>-x^2-x = -x(x+1)</math> erhalten, da dies durch
-
& =\frac{x^{3}+x^{2}}{x+1}+\frac{-x^{2}+x+2}{x+1}=\frac{x^{2}\left( x+1 \right)}{x+1}+\frac{-x^{2}+x+2}{x+1} \\
+
<math>x+1</math> teilbar ist
-
& =x^{2}+\frac{-x^{2}+x+2}{x+1} \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
x^2 + \frac{-x^2+x+2}{x+1}
 +
&= x^2 + \frac{-x^2-x+x+x+2}{x+1}\\[5pt]
 +
&= x^2 + \frac{-x^2-x}{x+1} + \frac{2x+2}{x+1}\\[5pt]
 +
&= x^2 + \frac{-x(x+1)}{x+1} + \frac{2x+2}{x+1}\\[5pt]
 +
&= x^2 - x + \frac{2x+2}{x+1}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
The term
+
Wir erhalten
-
<math>-x^{2}</math>
+
-
in the remaining quotient needs to complemented with
+
-
<math>-x</math>
+
-
so that we get
+
-
<math>-x^{2}-x=-x\left( x+1 \right)</math>, which is divisible by
+
-
<math>x+1</math>,
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-x+\frac{2x+2}{x+1}=x^2-x+2\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Wir testen, ob
-
& x^{2}+\frac{-x^{2}+x+2}{x+1}=x^{2}+\frac{-x^{2}-x+x+x+2}{x+1} \\
+
-
& =x^{2}+\frac{-x^{2}-x}{x+1}+\frac{2x+2}{x+1} \\
+
-
& =x^{2}+\frac{-x\left( x+1 \right)}{x+1}+\frac{2x+2}{x+1} \\
+
-
& =x^{2}-x+\frac{2x+2}{x+1} \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^3+x+2}{x+1} = x^2-x+2\,\textrm{,}</math>}}
-
The last quotient divides perfectly and we obtain
+
indem wir kontrollieren, ob
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x^3+x+2 = (x^2-x+2)(x+1)</math> .}}
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<math>x^{2}-x+\frac{2x+2}{x+1}=x^{2}-x+2.</math>
+
Wir erweitern die rechte Seite und sehen, dass alles stimmt
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
A quick check of whether
+
(x^2-x+2)(x+1) = x^3+x^2-x^2-x+2x+2 = x^3+x+2\,\textrm{.}
-
 
+
\end{align}</math>}}
-
 
+
-
<math>\frac{x^{3}+x+2}{x+1}=x^{2}-x+2.</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
is the correct answer is to investigate whether
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>x^{3}+x+2=\left( x^{2}-x+2 \right)\left( x+1 \right)</math>
+
-
 
+
-
holds. If we expand the right-hand side, we see that the relation really does hold:
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& \left( x^{2}-x+2 \right)\left( x+1 \right)=x^{3}+x^{2}-x^{2}-x+2x+2 \\
+
-
& =x^{3}+x+2 \\
+
-
\end{align}</math>
+

Aktuelle Version

Wir beginnen damit, \displaystyle x^2 zu addieren und subtrahieren, sodass wir \displaystyle x^3+x^2 = x^2(x+1) im Zähler erhalten

\displaystyle \begin{align}

\frac{x^3+x+2}{x+1} &= \frac{x^3+x^2-x^2+x+2}{x+1}\\[5pt] &= \frac{x^3+x^2}{x+1} + \frac{-x^2+x+2}{x+1}\\[5pt] &= \frac{x^2(x+1)}{x+1} + \frac{-x^2+x+2}{x+1}\\[5pt] &= x^2 + \frac{-x^2+x+2}{x+1}\,\textrm{.} \end{align}

Danach addieren und subtrahieren wir \displaystyle -x, sodass wir \displaystyle -x^2-x = -x(x+1) erhalten, da dies durch \displaystyle x+1 teilbar ist

\displaystyle \begin{align}

x^2 + \frac{-x^2+x+2}{x+1} &= x^2 + \frac{-x^2-x+x+x+2}{x+1}\\[5pt] &= x^2 + \frac{-x^2-x}{x+1} + \frac{2x+2}{x+1}\\[5pt] &= x^2 + \frac{-x(x+1)}{x+1} + \frac{2x+2}{x+1}\\[5pt] &= x^2 - x + \frac{2x+2}{x+1}\,\textrm{.} \end{align}

Wir erhalten

\displaystyle x^2-x+\frac{2x+2}{x+1}=x^2-x+2\,\textrm{.}

Wir testen, ob

\displaystyle \frac{x^3+x+2}{x+1} = x^2-x+2\,\textrm{,}

indem wir kontrollieren, ob

\displaystyle x^3+x+2 = (x^2-x+2)(x+1) .

Wir erweitern die rechte Seite und sehen, dass alles stimmt

\displaystyle \begin{align}

(x^2-x+2)(x+1) = x^3+x^2-x^2-x+2x+2 = x^3+x+2\,\textrm{.} \end{align}

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