Lösung 3.4:1c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-
If we focus on the leading term
+
Wir addieren einen Term, sodass wir <math>x^3</math> los werden. Wir addieren und subtrahieren daher <math>ax^2</math>
-
<math>x^{3}</math>, we need to complement it with in order to get an expression that is divisible by the denominator ,
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^3+a^3}{x+a} = \frac{x^3+ax^2-ax^2+a^3}{x+a}\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>\frac{x^{3}+a^{3}}{x+a}=\frac{x^{3}+ax^{2}-ax^{2}+a^{3}}{x+a}</math>
+
Wir können jetzt den Bruch in zwei Brüche aufteilen, wonach wir einen Bruch dann kürzen können
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\frac{x^3+ax^2-ax^2+a^3}{x+a}
 +
&= \frac{x^3+ax^2}{x+a} + \frac{-ax^2+a^3}{x+a}\\[5pt]
 +
&= \frac{x^2(x+a)}{x+a} + \frac{-ax^2+a^3}{x+a}\\[5pt]
 +
&= x^2 + \frac{-ax^2+a^3}{x+a}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
With this form on the right-hand side, we can separate away the first two terms in the numerator and have left a polynomial quotient with
+
Jetzt addieren und subtrahieren wir <math>-a^2x</math> zu/von <math>-ax^2</math> damit wir etwas durch <math>x+a</math> Teilbares erhalten
-
<math>-ax^{2}+a^{3}</math>
+
-
in the numerator:
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
x^2+\frac{-ax^2+a^3}{x+a}
 +
&= x^2 + \frac{-ax^2-a^2x+a^2x+a^3}{x+a}\\[5pt]
 +
&= x^2 + \frac{-ax^2-a^2x}{x+a} + \frac{a^2x+a^3}{x+a}\\[5pt]
 +
&= x^2 + \frac{-ax(x+a)}{x+a} + \frac{a^2x+a^3}{x+a}\\[5pt]
 +
&= x^2 - ax + \frac{a^2x+a^3}{x+a}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Im letzten Bruch haben wir <math>x+a</math> als Faktor im Zähler. Wir erhalten daher
-
& \frac{x^{3}+ax^{2}-ax^{2}+a^{3}}{x+a}=\frac{x^{3}+ax^{2}}{x+a}+\frac{-ax^{2}+a^{3}}{x+a} \\
+
-
& =\frac{x^{2}\left( x+a \right)}{x+a}+\frac{-ax^{2}+a^{3}}{x+a} \\
+
-
& =x^{2}+\frac{-ax^{2}+a^{3}}{x+a} \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 - ax + \frac{a^2x+a^3}{x+a} = x^2 - ax + \frac{a^2(x+a)}{x+a} = x^2-ax+a^2\,\textrm{.}</math>}}
-
When we treat the new quotient, we add and take away
+
Also erhalten wir
-
<math>-a^{2}x</math>
+
-
to/from
+
-
<math>-ax^{2}</math>
+
-
in order to get something divisible by
+
-
<math>x+a</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^3+a^3}{x+a} = x^2-ax+a^2</math>}}
 +
Um zu testen ob wir richtig gerechnet haben, können wir beide Seiten mit <math>x+a</math> multiplizieren
-
<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^3+a^3 = (x^2-ax+a^2)(x+a)\,\textrm{.}</math>}}
-
& x^{2}+\frac{-ax^{2}+a^{3}}{x+a}=x^{2}+\frac{-ax^{2}-a^{2}x+a^{2}x+a^{3}}{x+a} \\
+
-
& =x^{2}+\frac{-ax^{2}-a^{2}x}{x+a}+\frac{a^{2}x+a^{3}}{x+a} \\
+
-
& =x^{2}+\frac{-ax\left( x+a \right)}{x+a}+\frac{a^{2}x+a^{3}}{x+a} \\
+
-
& =x^{2}-ax+\frac{a^{2}x+a^{3}}{x+a} \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
Erweitern wir die rechte Seite, sollten wir die linke Seite erhalten
-
In the last quotient, the numerator has
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
<math>x+a</math>
+
\text{Rechte Seite}
-
as a factor, and we obtain a perfect division:
+
&= (x^2-ax+a^2)(x+a)\\[5pt]
-
 
+
&= x^3+ax^2-ax^2-a^2x+a^2x+a^3\\[5pt]
-
 
+
&= x^3+a^3\\[5pt]
-
<math>x^{2}-ax+\frac{a^{2}x+a^{3}}{x+a}=x^{2}-ax+\frac{a^{2}\left( x+a \right)}{x+a}=x^{2}-ax+a^{2}</math>
+
&= \text{Linke Seite.}
-
 
+
\end{align}</math>}}
-
 
+
-
If we have calculated correctly, we should have
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\frac{x^{3}+a^{3}}{x+a}=x^{2}-ax+a^{2}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
and one way to check the answer is to multiply both sides by
+
-
<math>x+a</math>,
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>x^{3}+a^{3}=\left( x^{2}-ax+a^{2} \right)\left( x+a \right)</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
Then, expand the right-hand side and then we should get what is on the left-hand side:
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& \text{RHS}=\left( x^{2}-ax+a^{2} \right)\left( x+a \right)=x^{3}+ax^{2}-ax^{2}-a^{2}x+a^{2}x+a^{3} \\
+
-
& =x^{3}+a^{3}=~~\text{LHS} \\
+
-
\end{align}</math>
+

Aktuelle Version

Wir addieren einen Term, sodass wir \displaystyle x^3 los werden. Wir addieren und subtrahieren daher \displaystyle ax^2

\displaystyle \frac{x^3+a^3}{x+a} = \frac{x^3+ax^2-ax^2+a^3}{x+a}\,\textrm{.}

Wir können jetzt den Bruch in zwei Brüche aufteilen, wonach wir einen Bruch dann kürzen können

\displaystyle \begin{align}

\frac{x^3+ax^2-ax^2+a^3}{x+a} &= \frac{x^3+ax^2}{x+a} + \frac{-ax^2+a^3}{x+a}\\[5pt] &= \frac{x^2(x+a)}{x+a} + \frac{-ax^2+a^3}{x+a}\\[5pt] &= x^2 + \frac{-ax^2+a^3}{x+a}\,\textrm{.} \end{align}

Jetzt addieren und subtrahieren wir \displaystyle -a^2x zu/von \displaystyle -ax^2 damit wir etwas durch \displaystyle x+a Teilbares erhalten

\displaystyle \begin{align}

x^2+\frac{-ax^2+a^3}{x+a} &= x^2 + \frac{-ax^2-a^2x+a^2x+a^3}{x+a}\\[5pt] &= x^2 + \frac{-ax^2-a^2x}{x+a} + \frac{a^2x+a^3}{x+a}\\[5pt] &= x^2 + \frac{-ax(x+a)}{x+a} + \frac{a^2x+a^3}{x+a}\\[5pt] &= x^2 - ax + \frac{a^2x+a^3}{x+a}\,\textrm{.} \end{align}

Im letzten Bruch haben wir \displaystyle x+a als Faktor im Zähler. Wir erhalten daher

\displaystyle x^2 - ax + \frac{a^2x+a^3}{x+a} = x^2 - ax + \frac{a^2(x+a)}{x+a} = x^2-ax+a^2\,\textrm{.}

Also erhalten wir

\displaystyle \frac{x^3+a^3}{x+a} = x^2-ax+a^2

Um zu testen ob wir richtig gerechnet haben, können wir beide Seiten mit \displaystyle x+a multiplizieren

\displaystyle x^3+a^3 = (x^2-ax+a^2)(x+a)\,\textrm{.}

Erweitern wir die rechte Seite, sollten wir die linke Seite erhalten

\displaystyle \begin{align}

\text{Rechte Seite} &= (x^2-ax+a^2)(x+a)\\[5pt] &= x^3+ax^2-ax^2-a^2x+a^2x+a^3\\[5pt] &= x^3+a^3\\[5pt] &= \text{Linke Seite.} \end{align}

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