Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	{{NAVCONTENT_START}}	+	Wir addieren einen Term, sodass wir <math>x^3</math> los werden. Wir addieren und subtrahieren daher <math>ax^2</math>
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		+	Wir können jetzt den Bruch in zwei Brüche aufteilen, wonach wir einen Bruch dann kürzen können
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
		+	\frac{x^3+ax^2-ax^2+a^3}{x+a}
		+	&= \frac{x^3+ax^2}{x+a} + \frac{-ax^2+a^3}{x+a}\\[5pt]
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		+	&= x^2 + \frac{-ax^2+a^3}{x+a}\,\textrm{.}
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		+	Jetzt addieren und subtrahieren wir <math>-a^2x</math> zu/von <math>-ax^2</math> damit wir etwas durch <math>x+a</math> Teilbares erhalten
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
		+	x^2+\frac{-ax^2+a^3}{x+a}
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		+	&= x^2 + \frac{-ax^2-a^2x}{x+a} + \frac{a^2x+a^3}{x+a}\\[5pt]
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		+	Im letzten Bruch haben wir <math>x+a</math> als Faktor im Zähler. Wir erhalten daher
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 - ax + \frac{a^2x+a^3}{x+a} = x^2 - ax + \frac{a^2(x+a)}{x+a} = x^2-ax+a^2\,\textrm{.}</math>}}
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		+	Also erhalten wir
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^3+a^3}{x+a} = x^2-ax+a^2</math>}}
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		+	Um zu testen ob wir richtig gerechnet haben, können wir beide Seiten mit <math>x+a</math> multiplizieren
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>x^3+a^3 = (x^2-ax+a^2)(x+a)\,\textrm{.}</math>}}
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		+	Erweitern wir die rechte Seite, sollten wir die linke Seite erhalten
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
		+	\text{Rechte Seite}
		+	&= (x^2-ax+a^2)(x+a)\\[5pt]
		+	&= x^3+ax^2-ax^2-a^2x+a^2x+a^3\\[5pt]
		+	&= x^3+a^3\\[5pt]
		+	&= \text{Linke Seite.}
		+	\end{align}</math>}}

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Aktuelle Version

Wir addieren einen Term, sodass wir \displaystyle x^3 los werden. Wir addieren und subtrahieren daher \displaystyle ax^2

\displaystyle \frac{x^3+a^3}{x+a} = \frac{x^3+ax^2-ax^2+a^3}{x+a}\,\textrm{.}

Wir können jetzt den Bruch in zwei Brüche aufteilen, wonach wir einen Bruch dann kürzen können

\displaystyle \begin{align} \frac{x^3+ax^2-ax^2+a^3}{x+a} &= \frac{x^3+ax^2}{x+a} + \frac{-ax^2+a^3}{x+a}\\[5pt] &= \frac{x^2(x+a)}{x+a} + \frac{-ax^2+a^3}{x+a}\\[5pt] &= x^2 + \frac{-ax^2+a^3}{x+a}\,\textrm{.} \end{align}

Jetzt addieren und subtrahieren wir \displaystyle -a^2x zu/von \displaystyle -ax^2 damit wir etwas durch \displaystyle x+a Teilbares erhalten

\displaystyle \begin{align} x^2+\frac{-ax^2+a^3}{x+a} &= x^2 + \frac{-ax^2-a^2x+a^2x+a^3}{x+a}\\[5pt] &= x^2 + \frac{-ax^2-a^2x}{x+a} + \frac{a^2x+a^3}{x+a}\\[5pt] &= x^2 + \frac{-ax(x+a)}{x+a} + \frac{a^2x+a^3}{x+a}\\[5pt] &= x^2 - ax + \frac{a^2x+a^3}{x+a}\,\textrm{.} \end{align}

Im letzten Bruch haben wir \displaystyle x+a als Faktor im Zähler. Wir erhalten daher

\displaystyle x^2 - ax + \frac{a^2x+a^3}{x+a} = x^2 - ax + \frac{a^2(x+a)}{x+a} = x^2-ax+a^2\,\textrm{.}

Also erhalten wir

\displaystyle \frac{x^3+a^3}{x+a} = x^2-ax+a^2

Um zu testen ob wir richtig gerechnet haben, können wir beide Seiten mit \displaystyle x+a multiplizieren

\displaystyle x^3+a^3 = (x^2-ax+a^2)(x+a)\,\textrm{.}

Erweitern wir die rechte Seite, sollten wir die linke Seite erhalten

\displaystyle \begin{align} \text{Rechte Seite} &= (x^2-ax+a^2)(x+a)\\[5pt] &= x^3+ax^2-ax^2-a^2x+a^2x+a^3\\[5pt] &= x^3+a^3\\[5pt] &= \text{Linke Seite.} \end{align}