Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Version vom 09:31, 7. Apr. 2008 (bearbeiten) Oskar (Diskussion | Beiträge) (Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} <center> Bild:2_2_3f.gif </center> {{NAVCONTENT_STOP}}) ← Zum vorherigen Versionsunterschied		Aktuelle Version (12:46, 27. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig) Sekretariat1 (Diskussion | Beiträge)
(Der Versionsvergleich bezieht 8 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1:		Zeile 1:
-	{{NAVCONTENT_START}}	+	Wir schreiben das Integral als
-	<center> [[Bild:2_2_3f.gif]] </center>	+
-	{{NAVCONTENT_STOP}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>2\sin\sqrt{x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}</math>}}
		+
		+	und sehen, dass der Faktor <math>1/2\sqrt{x}</math> die Ableitung von <math>\sqrt{x}</math> ist. Durch die Substitution <math>u=\sqrt{x}</math> erhalten wir das Intagral
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>2\sin u\cdot u'</math>.}}
		+
		+	Also haben wir
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
		+	\int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\,dx
		+	&= \left\{ \begin{align}
		+	u &= \sqrt{x}\\[5pt]
		+	du &= (\sqrt{x}\,)'\,dx = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx
		+	\end{align}\, \right\}\\[5pt]
		+	&= 2\int \sin u\,du\\[5pt]
		+	&= -2\cos u+C\\[5pt]
		+	&= -2\cos\sqrt{x} + C\,\textrm{.}
		+	\end{align}</math>}}

---

Aktuelle Version

Wir schreiben das Integral als

\displaystyle 2\sin\sqrt{x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}

und sehen, dass der Faktor \displaystyle 1/2\sqrt{x} die Ableitung von \displaystyle \sqrt{x} ist. Durch die Substitution \displaystyle u=\sqrt{x} erhalten wir das Intagral

\displaystyle 2\sin u\cdot u'.

Also haben wir

\displaystyle \begin{align} \int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\,dx &= \left\{ \begin{align} u &= \sqrt{x}\\[5pt] du &= (\sqrt{x}\,)'\,dx = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx \end{align}\, \right\}\\[5pt] &= 2\int \sin u\,du\\[5pt] &= -2\cos u+C\\[5pt] &= -2\cos\sqrt{x} + C\,\textrm{.} \end{align}