Lösung 2.2:3f

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Let's rewrite the integral somewhat:
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Wir schreiben das Integral als
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{{Abgesetzte Formel||<math>2\sin\sqrt{x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}</math>}}
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<math>2\sin \sqrt{x}\centerdot \frac{1}{2\sqrt{x}}</math>
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und sehen, dass der Faktor <math>1/2\sqrt{x}</math> die Ableitung von <math>\sqrt{x}</math> ist. Durch die Substitution <math>u=\sqrt{x}</math> erhalten wir das Intagral
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{{Abgesetzte Formel||<math>2\sin u\cdot u'</math>.}}
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Here, we see that the factor on the right,
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Also haben wir
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<math>\frac{1}{2\sqrt{x}}</math>
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is the derivative of the expression
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<math>\sqrt{x}</math>, which appears in the factor on the left,
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<math>2\sin \sqrt{x}</math>
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With the substitution
+
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<math>u=\sqrt{x}</math>, the integrand can therefore be written as
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
<math>2\sin u\centerdot {u}'</math>
+
\int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\,dx
-
 
+
&= \left\{ \begin{align}
-
 
+
u &= \sqrt{x}\\[5pt]
-
and the integral becomes
+
du &= (\sqrt{x}\,)'\,dx = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx
-
 
+
\end{align}\, \right\}\\[5pt]
-
 
+
&= 2\int \sin u\,du\\[5pt]
-
<math>\begin{align}
+
&= -2\cos u+C\\[5pt]
-
& \int{\frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}}\,dx=\left\{ \begin{matrix}
+
&= -2\cos\sqrt{x} + C\,\textrm{.}
-
u=\sqrt{x} \\
+
\end{align}</math>}}
-
du=\left( \sqrt{x} \right)^{\prime }\,dx=\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx \\
+
-
\end{matrix}\, \right\} \\
+
-
& =2\int{\sin u\,du} \\
+
-
& =-2\cos u+C \\
+
-
& =-2\cos \sqrt{x}+C \\
+
-
\end{align}</math>
+

Aktuelle Version

Wir schreiben das Integral als

\displaystyle 2\sin\sqrt{x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}

und sehen, dass der Faktor \displaystyle 1/2\sqrt{x} die Ableitung von \displaystyle \sqrt{x} ist. Durch die Substitution \displaystyle u=\sqrt{x} erhalten wir das Intagral

\displaystyle 2\sin u\cdot u'.

Also haben wir

\displaystyle \begin{align}

\int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\,dx &= \left\{ \begin{align} u &= \sqrt{x}\\[5pt] du &= (\sqrt{x}\,)'\,dx = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx \end{align}\, \right\}\\[5pt] &= 2\int \sin u\,du\\[5pt] &= -2\cos u+C\\[5pt] &= -2\cos\sqrt{x} + C\,\textrm{.} \end{align}

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