Lösung 2.2:3d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Observe that the derivative of the denominator is, for the most part, equal to the numerator,
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Wir sehen, dass die Ableitung des Nenners fast der Zähler ist
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{{Abgesetzte Formel||<math>(x^2+2x+2)' = 2x+2 = 2(x+1)</math>.}}
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<math>\left( x^{2}+2x+2 \right)^{\prime }=2x+2=2\left( x+1 \right)</math>
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Also ist das Integral
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{\tfrac{1}{2}}{x^2+2x+2}\cdot (x^2+2x+2)'\,dx\,\textrm{.}</math>}}
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so we can rewrite the integral as
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Durch die Substitution <math>u=x^2+2x+2</math> erhalten wir ein einfacheres Integral.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\int \frac{x+1}{x^2+2x+2}\,dx
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&= \left\{\begin{align}
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u &= x^2+2x+2\\[5pt]
 +
du &= (x^2+2x+2)'\,dx = 2(x+1)\,dx
 +
\end{align}\right\}\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{2}\int \frac{du}{u}\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{2}\ln |u| + C\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{2}\ln |x^2+2x+2| + C
 +
\end{align}</math>}}
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<math>\int{\frac{\frac{1}{2}}{x^{2}+2x+2}}\centerdot \left( x^{2}+2x+2 \right)^{\prime }\,dx</math>
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Hinweis: Durch die quadratische Ergänzung
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{{Abgesetzte Formel||<math>x^2+2x+2 = (x+1)^2-1^2+2 = (x+1)^2+1</math>}}
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The substitution
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sehen wir, dass <math>x^2+2x+2</math> immer größer als 1 ist. Daher können wir das Betragszeichen weglassen.
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<math>u=x^{2}+2x+2</math>
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will therefore simplify the integral considerably:
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{2}\ln (x^2+2x+2) + C</math>}}
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<math>\begin{align}
+
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& \int{\frac{x+1}{x^{2}+2x+2}}\,dx=\left\{ \begin{matrix}
+
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u=x^{2}+2x+2 \\
+
-
du=\left( x^{2}+2x+2 \right)^{\prime }\,dx=2\left( x+1 \right)\,dx \\
+
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\end{matrix} \right\} \\
+
-
& =\frac{1}{2}\int{\frac{\,du}{u}}=\frac{1}{2}\ln \left| u \right|+C \\
+
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& =\frac{1}{2}\ln \left| x^{2}+2x+2 \right|+C \\
+
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\end{align}</math>
+
-
 
+
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NOTE: By completing the square
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<math>x^{2}+2x+2=\left( x+1 \right)^{2}-1^{2}+2=\left( x+1 \right)^{2}+1</math>
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we see that
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<math>x^{2}+2x+2</math>
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is always greater than or equal to
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<math>\text{1}</math>, so we can take away the absolute sign around the argument in
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<math>\text{ln}</math>
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and answer with
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-
 
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<math>\frac{1}{2}\ln \left( x^{2}+2x+2 \right)+C</math>
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Aktuelle Version

Wir sehen, dass die Ableitung des Nenners fast der Zähler ist

\displaystyle (x^2+2x+2)' = 2x+2 = 2(x+1).

Also ist das Integral

\displaystyle \int \frac{\tfrac{1}{2}}{x^2+2x+2}\cdot (x^2+2x+2)'\,dx\,\textrm{.}

Durch die Substitution \displaystyle u=x^2+2x+2 erhalten wir ein einfacheres Integral.

\displaystyle \begin{align}

\int \frac{x+1}{x^2+2x+2}\,dx &= \left\{\begin{align} u &= x^2+2x+2\\[5pt] du &= (x^2+2x+2)'\,dx = 2(x+1)\,dx \end{align}\right\}\\[5pt] &= \frac{1}{2}\int \frac{du}{u}\\[5pt] &= \frac{1}{2}\ln |u| + C\\[5pt] &= \frac{1}{2}\ln |x^2+2x+2| + C \end{align}

Hinweis: Durch die quadratische Ergänzung

\displaystyle x^2+2x+2 = (x+1)^2-1^2+2 = (x+1)^2+1

sehen wir, dass \displaystyle x^2+2x+2 immer größer als 1 ist. Daher können wir das Betragszeichen weglassen.

\displaystyle \frac{1}{2}\ln (x^2+2x+2) + C
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