Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Version vom 14:29, 7. Mai 2008 (bearbeiten) Tek (Diskussion | Beiträge) ← Zum vorherigen Versionsunterschied		Aktuelle Version (13:08, 21. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig) Moni (Diskussion | Beiträge)
(Der Versionsvergleich bezieht 11 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1:		Zeile 1:
-	{{NAVCONTENT_START}}	+	Wir schreiben die Tangente als
-	<center> [[Bild:1_1_4-1(3).gif]] </center>	+
-	<center> [[Bild:1_1_4-2(3).gif]] </center>	+	{{Abgesetzte Formel||<math>y=kx+m</math>.}}
-	<center> [[Bild:1_1_4-3(3).gif]] </center>	+
-	{{NAVCONTENT_STOP}}	+	Wir wissen, dass die Steigung ''k'' der Tangente die Ableitung von <math>y = x^2</math> im Punkt <math>x=1\,</math> ist, da <math>y^{\,\prime} = 2x\,</math>.
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>k = y^{\,\prime}(1) = 2\cdot 1 = 2\,\textrm{}</math>}}
		+
		+	Wir bestimmen die Konstante ''m'' durch die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht.
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>1 = 2\cdot 1 + m</math>}}
		+
		+	Also ist <math>m=-1</math>.
		+
		+	[[Image:1_1_4_1.gif|center]]
		+
		+	Die Normale zu <math>y=x^2</math> im Punkt (1,1) steht senkrecht auf der Tangente im selben Punkt.
		+
		+	Nachdem zwei senkrechte Geraden <math>k_{1}\cdot k_{2} = -1\,</math> erfüllen, hat die Normale die Steigung
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>-\frac{1}{k} = -\frac{1}{2}\,\textrm{.}</math>}}
		+
		+	Und daher ist die Normale
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>y=-\frac{1}{2}x+n</math>.}}
		+
		+	Um ''n'' zu bestimmen, verwenden wir die Bedingung, dass die Normale durch den Punkt (1,1) geht.
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>1=-\frac{1}{2}\cdot 1 + n</math>}}
		+
		+	Wir erhalten <math>n=\tfrac{3}{2}\,</math>.
		+
		+	[[Image:1_1_4-3(3).gif|center]]

---

Aktuelle Version

Wir schreiben die Tangente als

\displaystyle y=kx+m.

Wir wissen, dass die Steigung k der Tangente die Ableitung von \displaystyle y = x^2 im Punkt \displaystyle x=1\, ist, da \displaystyle y^{\,\prime} = 2x\,.

\displaystyle k = y^{\,\prime}(1) = 2\cdot 1 = 2\,\textrm{}

Wir bestimmen die Konstante m durch die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht.

\displaystyle 1 = 2\cdot 1 + m

Also ist \displaystyle m=-1.

Die Normale zu \displaystyle y=x^2 im Punkt (1,1) steht senkrecht auf der Tangente im selben Punkt.

Nachdem zwei senkrechte Geraden \displaystyle k_{1}\cdot k_{2} = -1\, erfüllen, hat die Normale die Steigung

\displaystyle -\frac{1}{k} = -\frac{1}{2}\,\textrm{.}

Und daher ist die Normale

\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+n.

Um n zu bestimmen, verwenden wir die Bedingung, dass die Normale durch den Punkt (1,1) geht.

\displaystyle 1=-\frac{1}{2}\cdot 1 + n

Wir erhalten \displaystyle n=\tfrac{3}{2}\,.