Lösung 1.1:4
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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Wir schreiben die Tangente als | Wir schreiben die Tangente als | ||
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| - | Wir wissen, dass die Steigung ''k'' der Tangente die Ableitung von <math>y = x^2</math> im Punkt <math>x=1\,</math> ist, da <math>y^{\,\prime} = 2x\,</math> | + | Wir wissen, dass die Steigung ''k'' der Tangente die Ableitung von <math>y = x^2</math> im Punkt <math>x=1\,</math> ist, da <math>y^{\,\prime} = 2x\,</math>. |
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>k = y^{\,\prime}(1) = 2\cdot 1 = 2\,\textrm{ | + | {{Abgesetzte Formel||<math>k = y^{\,\prime}(1) = 2\cdot 1 = 2\,\textrm{}</math>}} |
Wir bestimmen die Konstante ''m'' durch die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht. | Wir bestimmen die Konstante ''m'' durch die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht. | ||
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| - | Die Normale | + | Die Normale zu <math>y=x^2</math> im Punkt (1,1) steht senkrecht auf der Tangente im selben Punkt. |
Nachdem zwei senkrechte Geraden <math>k_{1}\cdot k_{2} = -1\,</math> erfüllen, hat die Normale die Steigung | Nachdem zwei senkrechte Geraden <math>k_{1}\cdot k_{2} = -1\,</math> erfüllen, hat die Normale die Steigung | ||
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Und daher ist die Normale | Und daher ist die Normale | ||
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>y=-\frac{1}{2}x+n</math>}} | + | {{Abgesetzte Formel||<math>y=-\frac{1}{2}x+n</math>.}} |
| - | Um ''n'' zu bestimmen verwenden wir die | + | Um ''n'' zu bestimmen, verwenden wir die Bedingung, dass die Normale durch den Punkt (1,1) geht. |
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>1=-\frac{1}{2}\cdot + n</math>}} | + | {{Abgesetzte Formel||<math>1=-\frac{1}{2}\cdot 1 + n</math>}} |
| - | + | Wir erhalten <math>n=\tfrac{3}{2}\,</math>. | |
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Aktuelle Version
Wir schreiben die Tangente als
| \displaystyle y=kx+m. |
Wir wissen, dass die Steigung k der Tangente die Ableitung von \displaystyle y = x^2 im Punkt \displaystyle x=1\, ist, da \displaystyle y^{\,\prime} = 2x\,.
| \displaystyle k = y^{\,\prime}(1) = 2\cdot 1 = 2\,\textrm{} |
Wir bestimmen die Konstante m durch die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht.
| \displaystyle 1 = 2\cdot 1 + m |
Also ist \displaystyle m=-1.
Die Normale zu \displaystyle y=x^2 im Punkt (1,1) steht senkrecht auf der Tangente im selben Punkt.
Nachdem zwei senkrechte Geraden \displaystyle k_{1}\cdot k_{2} = -1\, erfüllen, hat die Normale die Steigung
| \displaystyle -\frac{1}{k} = -\frac{1}{2}\,\textrm{.} |
Und daher ist die Normale
| \displaystyle y=-\frac{1}{2}x+n. |
Um n zu bestimmen, verwenden wir die Bedingung, dass die Normale durch den Punkt (1,1) geht.
| \displaystyle 1=-\frac{1}{2}\cdot 1 + n |
Wir erhalten \displaystyle n=\tfrac{3}{2}\,.
