Lösung 1.1:4

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K
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If we write the equation of the tangent as
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Wir schreiben die Tangente als
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{{Displayed math||<math>y=kx+m</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>y=kx+m</math>.}}
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we know that the tangent's slope ''k'' is equal to the derivative of <math>y = x^2</math> at the point <math>x=1\,</math>, and since <math>y^{\,\prime} = 2x\,</math>, so
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Wir wissen, dass die Steigung ''k'' der Tangente die Ableitung von <math>y = x^2</math> im Punkt <math>x=1\,</math> ist, da <math>y^{\,\prime} = 2x\,</math>.
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{{Displayed math||<math>k = y^{\,\prime}(1) = 2\cdot 1 = 2\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>k = y^{\,\prime}(1) = 2\cdot 1 = 2\,\textrm{}</math>}}
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We can determine the constant ''m'' with the condition that the tangent should go through the grazing point (1,1), i.e. the point (1,1) should satisfy the equation of the tangent
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Wir bestimmen die Konstante ''m'' durch die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht.
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{{Displayed math||<math>1 = 2\cdot 1 + m</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>1 = 2\cdot 1 + m</math>}}
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which gives that <math>m=-1</math>.
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Also ist <math>m=-1</math>.
[[Image:1_1_4_1.gif|center]]
[[Image:1_1_4_1.gif|center]]
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The normal to the curve <math>y=x^2</math> at the point (1,1) is the straight line which is perpendicular to the tangent at the same point.
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Die Normale zu <math>y=x^2</math> im Punkt (1,1) steht senkrecht auf der Tangente im selben Punkt.
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Because two straight lines which are perpendicular to each other have slopes which satisfy <math>k_{1}\cdot k_{2} = -1\,</math>, the normal must have a slope which is equal to
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Nachdem zwei senkrechte Geraden <math>k_{1}\cdot k_{2} = -1\,</math> erfüllen, hat die Normale die Steigung
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{{Displayed math||<math>-\frac{1}{k} = -\frac{1}{2}\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>-\frac{1}{k} = -\frac{1}{2}\,\textrm{.}</math>}}
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The equation of the normal can therefore be written as
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Und daher ist die Normale
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{{Displayed math||<math>y=-\frac{1}{2}x+n</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>y=-\frac{1}{2}x+n</math>.}}
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where ''n'' is some constant.
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Um ''n'' zu bestimmen, verwenden wir die Bedingung, dass die Normale durch den Punkt (1,1) geht.
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Since the normal must pass through the line (1,1), we can determine the constant ''n'' if we substitute the point into the equation of the normal,
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{{Abgesetzte Formel||<math>1=-\frac{1}{2}\cdot 1 + n</math>}}
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{{Displayed math||<math>1=-\frac{1}{2}\cdot + n</math>}}
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Wir erhalten <math>n=\tfrac{3}{2}\,</math>.
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and this gives <math>n=\tfrac{3}{2}\,</math>.
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[[Image:1_1_4-3(3).gif|center]]
[[Image:1_1_4-3(3).gif|center]]

Aktuelle Version

Wir schreiben die Tangente als

\displaystyle y=kx+m.

Wir wissen, dass die Steigung k der Tangente die Ableitung von \displaystyle y = x^2 im Punkt \displaystyle x=1\, ist, da \displaystyle y^{\,\prime} = 2x\,.

\displaystyle k = y^{\,\prime}(1) = 2\cdot 1 = 2\,\textrm{}

Wir bestimmen die Konstante m durch die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht.

\displaystyle 1 = 2\cdot 1 + m

Also ist \displaystyle m=-1.

Die Normale zu \displaystyle y=x^2 im Punkt (1,1) steht senkrecht auf der Tangente im selben Punkt.

Nachdem zwei senkrechte Geraden \displaystyle k_{1}\cdot k_{2} = -1\, erfüllen, hat die Normale die Steigung

\displaystyle -\frac{1}{k} = -\frac{1}{2}\,\textrm{.}

Und daher ist die Normale

\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+n.

Um n zu bestimmen, verwenden wir die Bedingung, dass die Normale durch den Punkt (1,1) geht.

\displaystyle 1=-\frac{1}{2}\cdot 1 + n

Wir erhalten \displaystyle n=\tfrac{3}{2}\,.

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