Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	If we write the equation of the tangent as	+	Wir schreiben die Tangente als
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>y=kx+m</math>.}}
-	<math>y=kx+m</math>	+	Wir wissen, dass die Steigung ''k'' der Tangente die Ableitung von <math>y = x^2</math> im Punkt <math>x=1\,</math> ist, da <math>y^{\,\prime} = 2x\,</math>.
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>k = y^{\,\prime}(1) = 2\cdot 1 = 2\,\textrm{}</math>}}
-	we know that the tangent's gradient	+	Wir bestimmen die Konstante ''m'' durch die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht.
-	<math>k</math>	+
-	is equal to the derivative of	+
-	<math>y=x^{\text{2}}\text{ }</math>	+
-	at the point	+
-	<math>x=\text{1}</math>, and since	+
-	<math>{y}'=\text{2}x</math>, so	+	{{Abgesetzte Formel||<math>1 = 2\cdot 1 + m</math>}}
-		+
-		+
-	<math>k={y}'\left( 1 \right)=2\centerdot 1=2</math>	+
-		+
-	We can determine the constant	+
-	<math>m\text{ }</math>	+
-	with the condition that the tangent should go through the grazing point	+
-	<math>\left( 1 \right.,\left. 1 \right)</math>, i.e. the point	+
-	<math>\left( 1 \right.,\left. 1 \right)</math>	+
-	should satisfy the equation of the tangent	+
-		+
-		+
-	<math>1=2\centerdot 1+m</math>	+
-		+
-		+
-	which gives that	+
-	<math>m=-\text{1}</math>	+
		+	Also ist <math>m=-1</math>.
	[[Image:1_1_4_1.gif|center]]		[[Image:1_1_4_1.gif|center]]
		+	Die Normale zu <math>y=x^2</math> im Punkt (1,1) steht senkrecht auf der Tangente im selben Punkt.
-	The normal to the curve	+	Nachdem zwei senkrechte Geraden <math>k_{1}\cdot k_{2} = -1\,</math> erfüllen, hat die Normale die Steigung
-	<math>y=x^{\text{2}}\text{ }</math>	+
-	at the point	+
-	<math>\left( 1 \right.,\left. 1 \right)</math>	+
-	is the straight line which is perpendicular to the tangent at the same point.	+
-		+
-	Because two straight lines which are perpendicular to each other have gradients which satisfy	+
-	<math>k_{1}\centerdot k_{2}=-1</math>, the normal must have a gradient which is equal to	+
-		+
-		+
-	<math>-\frac{1}{k}=-\frac{1}{2}</math>	+
-		+
-		+
-	The equation of the normal can therefore be written as	+
-		+
-		+
-	<math>y=-\frac{1}{2}x+n</math>	+
-		+
-		+
-	where	+
-	<math>n</math>	+
-	is some constant.	+
-		+
-	Since the normal must pass through the line	+
-	<math>\left( 1 \right.,\left. 1 \right)</math>, we can determine the constant	+
-	<math>n</math>	+
-	if we substitute the point into the equation of the normal,	+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>-\frac{1}{k} = -\frac{1}{2}\,\textrm{.}</math>}}
-	<math>1=-\frac{1}{2}\centerdot +n</math>	+	Und daher ist die Normale
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>y=-\frac{1}{2}x+n</math>.}}
-	and this gives	+	Um ''n'' zu bestimmen, verwenden wir die Bedingung, dass die Normale durch den Punkt (1,1) geht.
-	<math>n=\frac{3}{2}</math>.	+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>1=-\frac{1}{2}\cdot 1 + n</math>}}
		+	Wir erhalten <math>n=\tfrac{3}{2}\,</math>.
	[[Image:1_1_4-3(3).gif|center]]		[[Image:1_1_4-3(3).gif|center]]

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Aktuelle Version

Wir schreiben die Tangente als

\displaystyle y=kx+m.

Wir wissen, dass die Steigung k der Tangente die Ableitung von \displaystyle y = x^2 im Punkt \displaystyle x=1\, ist, da \displaystyle y^{\,\prime} = 2x\,.

\displaystyle k = y^{\,\prime}(1) = 2\cdot 1 = 2\,\textrm{}

Wir bestimmen die Konstante m durch die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht.

\displaystyle 1 = 2\cdot 1 + m

Also ist \displaystyle m=-1.

Die Normale zu \displaystyle y=x^2 im Punkt (1,1) steht senkrecht auf der Tangente im selben Punkt.

Nachdem zwei senkrechte Geraden \displaystyle k_{1}\cdot k_{2} = -1\, erfüllen, hat die Normale die Steigung

\displaystyle -\frac{1}{k} = -\frac{1}{2}\,\textrm{.}

Und daher ist die Normale

\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+n.

Um n zu bestimmen, verwenden wir die Bedingung, dass die Normale durch den Punkt (1,1) geht.

\displaystyle 1=-\frac{1}{2}\cdot 1 + n

Wir erhalten \displaystyle n=\tfrac{3}{2}\,.