Lösung 1.2:2c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K
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When we see this expression, we should think "square root of something",
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Wir sehen, dass die äußere Funktion
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{{Displayed math||<math>\sqrt{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{\cos x}}}\,\textrm{,}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{\cos x}}}\,\textrm{}</math>}}
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and in order to differentiate it, we should first differentiate the outer function , "the square root of", with respect to its argument and, after that, multiply by the derivative of the inner functional expression <math>\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{\cos x}} = \cos x</math>,
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ist, die wir zuerst ableiten und dann mit der inneren Ableitung von <math>\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{\cos x}} = \cos x</math> multiplizieren
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{{Displayed math||<math>\frac{d}{dx}\,\sqrt{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\cos x}} = \frac{1}{2\sqrt{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\cos x}}}\cdot \bigl(\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\cos x}\bigr)'\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\sqrt{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\cos x}} = \frac{1}{2\sqrt{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\cos x}}}\cdot \bigl(\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\cos x}\bigr)'\,.</math>}}
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where we have used the differentiation rule
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Wir haben hier folgende Regeln benutzt
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{{Displayed math||<math>\frac{d}{dx}\,\sqrt{x} = \frac{d}{dx}\,x^{1/2} = \tfrac{1}{2}x^{1/2-1} = \tfrac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\sqrt{x} = \frac{d}{dx}\,x^{1/2} = \tfrac{1}{2}x^{1/2-1} = \tfrac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,\textrm{.}</math>}}
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Thus, we obtain
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Daher erhalten wir
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{{Displayed math||<math>\frac{d}{dx}\,\sqrt{\cos x} = \frac{1}{2\sqrt{\cos x}}\cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\sqrt{\cos x} = \frac{1}{2\sqrt{\cos x}}\cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Wir sehen, dass die äußere Funktion

\displaystyle \sqrt{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{\cos x}}}\,\textrm{}

ist, die wir zuerst ableiten und dann mit der inneren Ableitung von \displaystyle \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{\cos x}} = \cos x multiplizieren

\displaystyle \frac{d}{dx}\,\sqrt{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\cos x}} = \frac{1}{2\sqrt{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\cos x}}}\cdot \bigl(\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\cos x}\bigr)'\,.

Wir haben hier folgende Regeln benutzt

\displaystyle \frac{d}{dx}\,\sqrt{x} = \frac{d}{dx}\,x^{1/2} = \tfrac{1}{2}x^{1/2-1} = \tfrac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,\textrm{.}

Daher erhalten wir

\displaystyle \frac{d}{dx}\,\sqrt{\cos x} = \frac{1}{2\sqrt{\cos x}}\cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}\,\textrm{.}
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